Por meio do cálculo das somas superiores, Sn, e das somas inferiores, sn, determine um valor aproximado para:
integral1^3 1x d x
Estime a ordem do erro entre o valor que você encontrou e o valor exato.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral1^31x,dx
usando as somas inferiores sn e superiores Sn de Riemann em uma partição uniforme de [1,3]. O conteúdo é integral de Riemann para função monotona decrescente, em que
  • em cada subintervalo o valor máximo de 1/x é em sua extremidade menor,
  • o valor mínimo é na extremidade maior.

Passo 2

Dividimos [1,3] em n subintervalos iguais de comprimento
De<a x = 3-1n = 2n,
com pontos de partição
xi = 1 + i2n, i=0,1,dots,n
Como f(x)=1/x é decrescente, temos
sn = sumi=1^n f(xi),De<a x = 2nsumi=1^n11+tfrac2in,
Sn = sumi=0^n-1 f(xi),De<a x = 2nsumi=0^n-111+tfrac2in

Passo 3

A diferença entre a soma superior e a inferior telescurso pela soma dos extremos:
Sn-sn = 2nl(11+tfrac2cdot 0n-11+tfrac2nnr) = 2nl(11-13r) = 2ncdot23 = 43n

Passo 4

Sabendo que
sn<= integral1^31x,dx <= Sn,
podemos tomar como aproximação o ponto médio
In =sn+Sn2,
e o erro máximo satisfaz
l|In-integral1^3tfrac1x,dxr| <= Sn-sn2 = 23n
Logo o erro é de ordem
O!l(tfrac1nr)

Passo 5

Por exemplo, para n=10 temos
S10-s10=430approx0,1333, erro<=0,0667,
e
I10 =s10+S102approx1,1016
O valor exato da integral é
integral1^31x,dx = ln(3)approx1,0986,
confirmando que I10 está a menos de 0,003 de ln(3).

Resposta

integral1^31x,dx=ln(3)approx1,0986,
e usando somas de Riemann uniformes o erro decai como O(1/n).

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