Por meio do cálculo das somas superiores, , e das somas inferiores, , determine um valor aproximado para:
Estime a ordem do erro entre o valor que você encontrou e o valor exato.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando as somas inferiores e superiores de Riemann em uma partição uniforme de . O conteúdo é integral de Riemann para função monotona decrescente, em que
em cada subintervalo o valor máximo de é em sua extremidade menor,
o valor mínimo é na extremidade maior.
Passo 2
Dividimos em subintervalos iguais de comprimento
com pontos de partição
Como é decrescente, temos
Passo 3
A diferença entre a soma superior e a inferior telescurso pela soma dos extremos:
Passo 4
Sabendo que
podemos tomar como aproximação o ponto médio
e o erro máximo satisfaz
Logo o erro é de ordem
O!l(tfrac1nr)
Passo 5
Por exemplo, para n=10 temos
S10-s10=430approx0,1333, erro<=0,0667,
e
I10 =s10+S102approx1,1016
O valor exato da integral é
integral1^31x,dx = ln(3)approx1,0986,
confirmando que I10 está a menos de 0,003 de ln(3).
Resposta
integral1^31x,dx=ln(3)approx1,0986,
e usando somas de Riemann uniformes o erro decai como O(1/n).