Encontre a transformada inversa.
mathscrC^-11s^2+3 s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
1s^2+3s
Isso cai em conteúdo de transformadas de Laplace e vamos usar decomposição em frações parciais e os pares básicos
mathscrL^-1tfrac1s=1 e mathscrL^-1tfrac1s+a=e^-a t.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^2+3s = s(s+3)
Em seguida escrevemos
1s(s+3) = As + Bs+3
Multiplicando por s(s+3) obtemos
1 = A(s+3) + Bs
Para achar A e B:
  • Colocando s=0 1 = 3A, logo A = tfrac13.
  • Colocando s=-3 1 = -3B, logo B = -tfrac13.

Passo 3

Substituindo na expressão original:
1s(s+3) = 1/3s - 1/3s+3
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
mathscrL^-1ltfrac1/3sr = tfrac13,, mathscrL^-1ltfrac1/3s+3r = tfrac13e^-3t
Note o sinal negativo no segundo termo.

Resposta

f(t) = 13 ;-;13e^-3t, t>=0

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