Por meio do cálculo das somas superiores, Sn, e das somas inferiores, sn, determine um valor aproximado para:
integral1^3 1x d x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular uma aproximação para a integral de 1x no intervalo de 1 a 3, ou seja, integral1^3 1x , dx . Para isso, vamos usar as somas superiores ( Sn ) e as somas inferiores ( sn ). Basicamente, essas somas nos ajudam a aproximar a área sob a curva dividindo o intervalo em pedaços menores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como dividir o intervalo [1, 3] em n subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo ( De<a x ) é dado por:
De<a x = b - an = 3 - 1n = 2n

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de divisão. Para cada subintervalo i , o extremo esquerdo é xi-1 = 1 + (i-1)De<a x e o extremo direito é xi = 1 + iDe<a x .

Passo 4

Para a soma inferior ( sn ), usamos o menor valor da função em cada subintervalo. Como 1x é uma função decrescente no intervalo [1, 3], o menor valor em cada subintervalo é 1xi . Assim, a soma inferior fica:
sn = sumi=1^n 1xi De<a x

Passo 5

Para a soma superior ( Sn ), usamos o maior valor da função em cada subintervalo. Novamente, como 1x é decrescente, o maior valor é 1xi-1 . Portanto, a soma superior é:
Sn = sumi=1^n 1xi-1 De<a x

Passo 6

Vamos calcular sn e Sn com n = 2 para simplificar. Então, De<a x = 22 = 1 .
Para i = 1 :
x0 = 1, x1 = 2
1x1 = 12
Para i = 2 :
x1 = 2, x2 = 3
1x2 = 13
Então,
s2 = ( 12 times 1 ) + ( 13 times 1 ) = 12 + 13 = 56 approx 0,8333

Passo 7

Agora, vamos calcular Sn com n = 2 .
Para i = 1 :
x0 = 1
1x0 = 1
Para i = 2 :
x1 = 2
1x1 = 12
Então,
S2 = ( 1 times 1 ) + ( 12 times 1 ) = 1 + 12 = 32 = 1,5

Passo 8

Com essas duas aproximações, sabemos que a integral integral1^3 1x , dx está entre s2 = 0,8333 e S2 = 1,5 . Para uma aproximação melhor, poderíamos aumentar o número de subintervalos n .

Resposta

Uma aproximação para integral1^3 1x , dx está entre aproximadamente 0,8333 e 1,5.

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