Calcule a transformada de Laplace da expressão
y^prime prime+5 y^prime-y+integral0^t U(tau-3) d tau-integral0^t e^-2 tau cos tau d tau

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da expressão:
y'' + 5y' - y + integral0^t U(tau - 3) , dtau - integral0^t e^-2tau cos tau , dtau
Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, como linearidade, transformadas de derivadas e integrais, além de algumas transformadas padrão de funções como a unidade de Heaviside U(t) e funções exponenciais multiplicadas por cosseno.

Passo 2

Vamos começar aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da expressão separadamente. Lembre-se que a Transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Primeiro, vamos transformar y''. A Transformada de Laplace de uma segunda derivada é dada por:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde Y(s) é a Transformada de Laplace de y(t) e y(0), y'(0) são as condições iniciais da função y(t).

Passo 4

Agora, transformamos 5y'. A Transformada de uma derivada primeira é:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Multiplicando por 5:
L5y' = 5s Y(s) - 5y(0)

Passo 5

Em seguida, transformamos -y. A Transformada de y(t) é simplesmente Y(s), então:
L-y = -Y(s)

Passo 6

Agora, vamos para a integral integral0^t U(tau - 3) , dtau. A transformada de uma integral de uma função f(t) de 0 a t é:
Lintegral0^t f(tau) , dtau = F(s)s
Onde F(s) é a Transformada de Laplace de f(t). Aqui, f(t) = U(t - 3), que é a função degrau de Heaviside deslocada. A Transformada de f(t) é:
LU(t - a) = e^-a ss
Então, para a = 3:
LU(t - 3) = e^-3 ss
Logo, a transformada da integral fica:
Lintegral0^t U(tau - 3) , dtau = e^-3 ss^2

Passo 7

Por último, temos a integral integral0^t e^-2tau cos tau , dtau. Usando a mesma propriedade da transformada de uma integral:
Lintegral0^t e^-2tau cos tau , dtau = Le^-2t cos ts
A Transformada de e^-2t cos t é:
Le^-2t cos t = s + 2(s + 2)^2 + 1
Portanto:
Lintegral0^t e^-2tau cos tau , dtau = s + 2s [(s + 2)^2 + 1]

Resposta

Juntando tudo, a Transformada de Laplace da expressão dada é:
Ly'' + 5y' - y + integral0^t U(tau - 3) , dtau - integral0^t e^-2tau cos tau , dtau = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 5s Y(s) - 5y(0) - Y(s) + e^-3 ss^2 - s + 2s [(s + 2)^2 + 1]

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