Calcule a transformada de Laplace da expressão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da expressão:
Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, como linearidade, transformadas de derivadas e integrais, além de algumas transformadas padrão de funções como a unidade de Heaviside
e funções exponenciais multiplicadas por cosseno.
Passo 2
Vamos começar aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da expressão separadamente. Lembre-se que a Transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo individualmente e depois somar os resultados.
Passo 3
Primeiro, vamos transformar
. A Transformada de Laplace de uma segunda derivada é dada por:
Onde
é a Transformada de Laplace de
e
,
são as condições iniciais da função
.
Passo 4
Agora, transformamos
. A Transformada de uma derivada primeira é:
Multiplicando por 5:
Passo 5
Em seguida, transformamos
. A Transformada de
é simplesmente
, então:
Passo 6
Agora, vamos para a integral
. A transformada de uma integral de uma função
de 0 a
é:
Onde
é a Transformada de Laplace de
. Aqui,
, que é a função degrau de Heaviside deslocada. A Transformada de
é:
Então, para
:
Logo, a transformada da integral fica:
Passo 7
Por último, temos a integral
. Usando a mesma propriedade da transformada de uma integral:
A Transformada de
é:
Portanto:
Resposta
Juntando tudo, a Transformada de Laplace da expressão dada é: