Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)’
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)’
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e usaremos o teorema do confronto (squeeze), além da desigualdade básica
.
Passo 2
Primeiro note que, para todo
, vale
Então
Passo 3
Agora use a desigualdade
|sin t|<=|t| com
t=y^2 :
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Passo 4
Como
lim(x,y)to(0,0)y^2=0 , pelo teorema do confronto segue
Resposta
O limite existe e vale
0 .