Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)’

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(0,0)sin(y^2),sinl(1/xr)
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e usaremos o teorema do confronto (squeeze), além da desigualdade básica |sin t|<=|t|.

Passo 2

Primeiro note que, para todo xneq0, vale
l|sinl(1/xr)r|<=1
Então
l|sin(y^2),sin(1/x)r|<=l|sin(y^2)r|cdot1=l|sin(y^2)r|

Passo 3

Agora use a desigualdade |sin t|<=|t| com t=y^2:
l|sin(y^2)r|<=|y^2|=y^2
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l|sin(y^2),sin(1/x)r|<= y^2

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)y^2=0, pelo teorema do confronto segue
lim(x,y)to(0,0)sin(y^2),sin(1/x)=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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