Calcule a transformada de Laplace da expressão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da expressão
. Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, derivados e propriedades das transformadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo
para o domínio da frequência
. Isso facilita resolver equações diferenciais.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada termo da expressão separadamente:
Passo 4
Para
, usamos a propriedade para a segunda derivada:
Onde
é a transformada de Laplace de
, e
,
são as condições iniciais.
Passo 5
Para
, a propriedade da primeira derivada é:
Passo 6
Agora, para
, usamos a fórmula da transformada de Laplace para
:
Aqui,
e
, então:
Passo 7
Agora, substituímos todas as transformadas na expressão original:
Passo 8
Vamos simplificar os termos que contêm
:
Passo 9
Podemos agrupar os termos constantes:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A transformada de Laplace da expressão
é: