Calcule a transformada de Laplace da expressão
y^prime prime+4 y^prime-e^-3 t cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da expressão y'' + 4y' - e^-3t cos t . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, derivados e propriedades das transformadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo t para o domínio da frequência s . Isso facilita resolver equações diferenciais.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada termo da expressão separadamente:
Ly'' + 4Ly' - Le^-3t cos t

Passo 4

Para Ly'' , usamos a propriedade para a segunda derivada:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t) , e y(0) , y'(0) são as condições iniciais.

Passo 5

Para Ly' , a propriedade da primeira derivada é:
Ly' = s Y(s) - y(0)

Passo 6

Agora, para Le^-3t cos t , usamos a fórmula da transformada de Laplace para e^at cos(bt) :
Le^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2
Aqui, a = -3 e b = 1 , então:
Le^-3t cos t = s + 3(s + 3)^2 + 1

Passo 7

Agora, substituímos todas as transformadas na expressão original:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4(s Y(s) - y(0)) - s + 3(s + 3)^2 + 1

Passo 8

Vamos simplificar os termos que contêm Y(s) :
(s^2 + 4s) Y(s) - s y(0) - y'(0) - 4 y(0) - s + 3(s + 3)^2 + 1

Passo 9

Podemos agrupar os termos constantes:
(s^2 + 4s) Y(s) - (s + 4) y(0) - y'(0) - s + 3(s + 3)^2 + 1

Passo 10

Finalmente, isolamos Y(s) :
Y(s) = (s + 4) y(0) + y'(0) + s + 3(s + 3)^2 + 1s^2 + 4s

Resposta

A transformada de Laplace da expressão y'' + 4y' - e^-3t cos t é:
Y(s) = (s + 4) y(0) + y'(0) + s + 3(s + 3)^2 + 1s^2 + 4s

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