Verifique a continuidade e a diferenciabilidade da função
f(x)=cl x^2 sen(1x)-x & , se x<0 0 & , se x=0 -(sen(x))^2x & , se x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função f(x) é contínua e diferenciável. A matéria envolvida aqui é sobre continuidade e diferenciabilidade de funções. Para isso, vamos precisar entender os limites da função quando x se aproxima de 0, tanto pela esquerda quanto pela direita, e também calcular a derivada nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em x = 0 . Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite da função quando x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo ( x to 0^- ) e pelo lado direito ( x to 0^+ ) precisa ser igual ao valor da função em x = 0 .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando x to 0^- :
Para x < 0 , a função é f(x) = x^2 sin(1x) - x .
Sabemos que sin(1x) está entre -1 e 1. Então, x^2 sin(1x) fica entre -x^2 e x^2 . Como x^2 tende a 0 quando x tende a 0, o termo x^2 sin(1x) também tende a 0. Portanto:
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (0 - x) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando x to 0^+ :
Para x > 0 , a função é f(x) = -(sin(x))^2x .
Sabemos que sin(x) approx x quando x está perto de 0. Então:
f(x) approx -x^2x = -x
Assim,
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (-x) = 0

Passo 5

Agora, comparemos os limites com o valor da função em x = 0 :
f(0) = 0
Como:
limx to 0^- f(x) = 0 = f(0) = limx to 0^+ f(x)
A função é contínua em x = 0 .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em x = 0 . Para isso, precisamos calcular a derivada da função pelas duas direções e ver se são iguais.
Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda:
Para x < 0 , f(x) = x^2 sin(1x) - x .
A derivada é:
f'(x) = 2x sin(1x) - cos(1x) + (-1)
No limite quando x to 0^- , o termo 2x sin(1x) tende a 0, mas cos(1x) oscila entre -1 e 1, então esse limite não existe.

Passo 7

Já que a derivada pela esquerda não existe, não precisamos verificar a derivada pela direita. Isso significa que a função não é diferenciável em x = 0 .

Resposta

A função f(x) é contínua em x = 0 , mas não diferenciável nesse ponto.

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