Calcule a transformada de Laplace da expressão abaixo.
dd t[e^-4 t t sen(3 t)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da derivada da expressão e^-4t cdot t cdot sin(3t) . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das transformadas de Laplace, como a do produto por exponenciais e a da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo t para uma função em termos de s , o que facilita resolver equações diferenciais. A notação é Lf(t) = F(s) .

Passo 3

Agora, nossa função é a derivada de e^-4t cdot t cdot sin(3t) . Vamos chamar essa função de f(t) , ou seja:
f(t) = ddt[e^-4t cdot t cdot sin(3t)]
Queremos encontrar Lf(t) .

Passo 4

Para calcular a Transformada de Laplace da derivada, usamos a propriedade:
Lf'(t) = s cdot F(s) - f(0)
onde F(s) é a Transformada de Laplace de f(t) .

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar F(s) = Le^-4t cdot t cdot sin(3t) . Sabemos que multiplicar uma função por e^-at na Transformada de Laplace equivale a substituir s por s + a na Transformada da função original. Então, vamos primeiro encontrar Lt cdot sin(3t) .

Passo 6

A Transformada de Laplace de t cdot sin(bt) é:
Lt cdot sin(bt) = 2b s(s^2 + b^2)^2
No nosso caso, b = 3 , então:
Lt cdot sin(3t) = 6s(s^2 + 9)^2

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade do fator exponencial e^-4t :
Le^-4t cdot t cdot sin(3t) = 6(s + 4)[(s + 4)^2 + 9]^2

Passo 8

Voltando à propriedade da derivada, temos:
Lf'(t) = s cdot F(s) - f(0)
Como f(t) = ddt[e^-4t cdot t cdot sin(3t)] , f(0) é zero porque t é multiplicado por zero quando t = 0 .

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace da expressão dada é:
Lddt[e^-4t cdot t cdot sin(3t)] = 6s(s + 4)[(s + 4)^2 + 9]^2

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