Calcule a transformada de Laplace da expressão abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da derivada da expressão
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das transformadas de Laplace, como a do produto por exponenciais e a da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo
para uma função em termos de
, o que facilita resolver equações diferenciais. A notação é
.
Passo 3
Agora, nossa função é a derivada de
. Vamos chamar essa função de
, ou seja:
Queremos encontrar
.
Passo 4
Para calcular a Transformada de Laplace da derivada, usamos a propriedade:
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que multiplicar uma função por
na Transformada de Laplace equivale a substituir
por
na Transformada da função original. Então, vamos primeiro encontrar
.
Passo 6
A Transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Agora, aplicando a propriedade do fator exponencial
:
Passo 8
Voltando à propriedade da derivada, temos:
Como
,
é zero porque
é multiplicado por zero quando
.
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace da expressão dada é: