Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
y^prime+2 sin 2 pi x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo y^prime + 2 sin 2 pi x = 0. O conteúdo aqui envolve integração e algumas propriedades básicas de derivadas. Para resolver, vamos precisar integrar a equação para achar a função y(x).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar y^prime:
y^prime = -2 sin 2pi x
Isso simplifica a nossa tarefa para encontrar y(x) integrando o lado direito em relação a x.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral y^prime , dx = integral -2 sin 2pi x , dx
A integral de y^prime em relação a x é simplesmente y(x).

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado direito:
integral -2 sin 2pi x , dx
A constante -2 pode ser mantida fora da integral:
-2 integral sin 2pi x , dx
Sabemos que a integral de sin(ax) é -1a cos(ax), onde a é uma constante.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral:
-2 times ( -12pi cos 2pi x ) + C
Os sinais negativos se cancelam, e temos:
22pi cos 2pi x + C

Passo 6

Simplificando a fração:
1pi cos 2pi x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = 1pi cos 2pi x + C

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