Calcule a transformada de Laplace da expressão abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada de Laplace da expressão $ t \sin(3 t) $. Isso faz parte da matéria de cálculo de transformadas de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais de forma mais simples. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas fórmulas básicas da transformada de Laplace e como elas se aplicam a funções como $ t \sin(3 t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma função do tempo $ t $ para o domínio de frequência $ s $, facilitando a resolução de equações.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que lida com a multiplicação por $ t $. A propriedade é:
Isso significa que, para transformar $ t \sin(3 t) $, podemos primeiro encontrar a transformada de $ \sin(3 t) $ e depois derivar essa expressão em relação a $ s $.
Passo 4
Vamos encontrar a transformada de $ \sin(3 t) $. Sabemos que:
Aqui, $ a = 3 $, então:
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3, temos:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 6
Calculando a derivada:
Usando a regra da derivada para $ \frac{1}{u} $, onde $ u = s^2 + 9 $, temos:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace de $ t \sin(3 t) $ é: