Calcule a transformada de Laplace da expressão abaixo.
t sen(3 t)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada de Laplace da expressão $ t \sin(3 t) $. Isso faz parte da matéria de cálculo de transformadas de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais de forma mais simples. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas fórmulas básicas da transformada de Laplace e como elas se aplicam a funções como $ t \sin(3 t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma função do tempo $ t $ para o domínio de frequência $ s $, facilitando a resolução de equações.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que lida com a multiplicação por $ t $. A propriedade é:
t
Isso significa que, para transformar $ t \sin(3 t) $, podemos primeiro encontrar a transformada de $ \sin(3 t) $ e depois derivar essa expressão em relação a $ s $.

Passo 4

Vamos encontrar a transformada de $ \sin(3 t) $. Sabemos que:
sin(3 t)
Aqui, $ a = 3 $, então:
Lsin(a t) = as^2 + a^2

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3, temos:
Lt sin(3 t) = -dds ( 3s^2 + 9 )
Vamos calcular essa derivada.

Passo 6

Calculando a derivada:
-dds ( 3s^2 + 9 ) = -3 cdot dds ( 1s^2 + 9 )
Usando a regra da derivada para $ \frac{1}{u} $, onde $ u = s^2 + 9 $, temos:
1u
Então:
u = s^2 + 9

Resposta

A transformada de Laplace de $ t \sin(3 t) $ é:
t sin(3 t)

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