Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
y^prime+x e^-x^2 / 2=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo linear de primeira ordem: y' + x e^-x^2 / 2 = 0 . Para resolver, vamos usar técnicas de integração que envolvem fórmulas básicas de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y' na equação:
y' = -x e^-x^2/2
Isso nos mostra que a derivada de y em relação a x é igual a -x e^-x^2/2.

Passo 3

Para encontrar y , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a x :
y = integral -x e^-x^2/2 , dx + C
Aqui, C é a constante de integração que aparece quando fazemos integrações indefinidas.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral -x e^-x^2/2 , dx. Notamos que essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples. Seja:
u = -x^22
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -x , dx
Isso significa que -x , dx = du.

Passo 5

Substituindo u e du na integral, temos:
y = integral e^u , du + C
Agora, a integral de e^u com respeito a u é simplesmente e^u , então:
y = e^u + C
Voltando para a variável original x :
y = e^-x^2/2 + C

Resposta

A solução da EDO é:
y = e^-x^2/2 + C

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