Sabendo que a solução geral da equação
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=0
é
y(x)=C1 x+C2 x^3
encontre a solução geral da equação
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=2 x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e quer que encontremos a solução geral quando temos um termo extra no lado direito. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender a solução geral da equação homogênea e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, já sabemos a solução geral da equação homogênea associada:
yh(x) = C1 x + C2 x^3
Aqui, C1 e C2 são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se forem dadas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação não homogênea:
x^2 y'' - 3x y' + 3 y = 2 x^4
Como o lado direito é 2x^4 , vamos supor que a solução particular tenha a forma de um polinômio. Vamos tentar uma solução da forma:
yp = A x^4
Onde A é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp :
yp' = 4A x^3
yp'' = 12A x^2
Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
x^2 (12A x^2) - 3x (4A x^3) + 3 (A x^4) = 2 x^4

Passo 5

Simplificando os termos:
12A x^4 - 12A x^4 + 3A x^4 = 2 x^4
(12A - 12A + 3A) x^4 = 2 x^4
3A x^4 = 2 x^4
Agora, podemos igualar os coeficientes:
3A = 2 implies A = 23

Passo 6

Então, a solução particular é:
yp = 23 x^4

Resposta

A solução geral da equação x^2 y'' - 3x y' + 3 y = 2 x^4 é:
y(x) = C1 x + C2 x^3 + 23 x^4

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