Sabendo que a solução geral da equação
é
encontre a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e quer que encontremos a solução geral quando temos um termo extra no lado direito. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender a solução geral da equação homogênea e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, já sabemos a solução geral da equação homogênea associada:
Aqui,
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se forem dadas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma de um polinômio. Vamos tentar uma solução da forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 5
Simplificando os termos:
Agora, podemos igualar os coeficientes:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação
é: