Encontre a solução geral da equação de Cauchy-Euler:
Passo 1
Vamos resumir o problema. Precisamos encontrar a solução geral da equação de Cauchy-Euler:
Para resolver isso, vamos usar técnicas específicas para equações de Cauchy-Euler. Essas equações geralmente têm soluções da forma
. Vamos precisar calcular as derivadas de
e substituir na equação original para encontrar o valor de
.
Passo 2
Vamos supor que a solução é da forma
. Com isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo as derivadas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Fatorando
:
Como
não pode ser zero, temos que:
Expandindo os termos:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 6
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da equação é: