Encontre a solução geral da equação de Cauchy-Euler:
4 x^2 y^prime prime+8 x y^prime+y=0

Passo 1

Vamos resumir o problema. Precisamos encontrar a solução geral da equação de Cauchy-Euler:
4 x^2 y'' + 8 x y' + y = 0
Para resolver isso, vamos usar técnicas específicas para equações de Cauchy-Euler. Essas equações geralmente têm soluções da forma y = x^r . Vamos precisar calcular as derivadas de y e substituir na equação original para encontrar o valor de r .

Passo 2

Vamos supor que a solução é da forma y = x^r . Com isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de y :
y' = r x^r-1
y'' = r (r - 1) x^r-2

Passo 3

Agora, substituímos y , y' e y'' na equação original:
4 x^2 cdot y'' + 8 x cdot y' + y = 0
Substituindo as derivadas:
4 x^2 cdot [r (r - 1) x^r-2] + 8 x cdot [r x^r-1] + x^r = 0
Simplificando os termos:
4 r (r - 1) x^r + 8 r x^r + x^r = 0

Passo 4

Fatorando x^r :
x^r [4 r (r - 1) + 8 r + 1] = 0
Como x^r não pode ser zero, temos que:
4 r (r - 1) + 8 r + 1 = 0
Expandindo os termos:
4 r^2 - 4 r + 8 r + 1 = 0
4 r^2 + 4 r + 1 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática 4 r^2 + 4 r + 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4 , b = 4 e c = 1 . Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 16 - 16 = 0
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
r = -42 cdot 4 = -12

Passo 6

Como temos uma raiz dupla r = -12 , a solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1/2 lnx

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1/2 lnx

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