Calcule a transformada de Laplace de f(t)=\delta(t-3), g(t)=e^{2 t} \delta(t-1) e encontre a transformada de Laplace inversa de H(s)=5 e^{-4 s}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a transformada de Laplace de f(t)=\delta(t-3).
  • Calcular a transformada de Laplace de g(t)=e^{2 t}\,\delta(t-1).
  • Encontrar a transformada de Laplace inversa de H(s)=5 e^{-4 s}.
Informações dadas:
  • A função de Dirac \delta(t-a) aparece em f e g.
  • Há um fator exponencial multiplicando a delta em g.
  • O sinal no expoente de H(s) é -4s (deslocamento em tempo).
  • Nenhuma figura ou dado adicional é necessário.

Passo 2

Definição e propriedade básica que vamos usar (explicada passo a passo):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t)\) é definida por \[\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para nós, pense em s como um número real suficientemente grande para garantir convergência quando necessário).
  • A distribuição de Dirac \delta(t-a) tem a propriedade de “sifting” (selecionar o valor em t=a):
\int_{0}^{\infty} \varphi(t)\,\delta(t-a)\,dt=\begin{cases}\varphi(a),& a\ge 0,\\[4pt]0,& a<0,\end{cases}
para qualquer função testável \varphi(t)\]. Intuição: a delta "pega" o valor da função no ponto \(t=a e ignora o resto.
  • Aplicando a propriedade acima com \varphi(t)=e^{-s t} vamos obter a transformada de Laplace de uma delta deslocada.]

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{\delta(t-3)\} passo a passo:
  • Use a definição:
\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\delta(t-3)\,dt.
  • Pela propriedade de sifting (aqui a=3\ge0) o integral avalia o integrando em t=3:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\delta(t-3)\,dt = e^{-s\cdot 3}.
  • Portanto,
\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}=e^{-3 s}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{2 t}\,\delta(t-1)\} passo a passo:
  • Use a definição:
\mathcal{L}\{e^{2 t}\,\delta(t-1)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\bigl(e^{2 t}\bigr)\delta(t-1)\,dt.
  • Combine exponenciais dentro do integrando: e^{-s t}e^{2 t}=e^{(-s+2)t}.
  • Pela propriedade de sifting (aqui a=1\ge0) o integral dá o valor do fator exponencial em t=1:
\int_{0}^{\infty} e^{(-s+2)t}\,\delta(t-1)\,dt = e^{(-s+2)\cdot 1}=e^{-s+2}.
  • Podemos reescrever e^{-s+2}=e^{2}e^{-s}, ambas equivalentes.
  • Portanto,
\mathcal{L}\{e^{2 t}\,\delta(t-1)\}=e^{2 - s}=e^{2}e^{-s}.

Passo 5

Transformada inversa e teorema do deslocamento no tempo (explicado):
  • Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (valendo 0 para t<a e 1 para t\ge a). Intuição: multiplicar por e^{-a s} no domínio de s desloca a função original em a no domínio do tempo.
  • Observação importante para deltas: a transformada de Laplace de \delta(t-a) é e^{-a s} (mostrado no Passo 3). Assim, a transformada inversa de e^{-a s} é \delta(t-a). Não há necessidade de fator u(t-a) separado nesse caso porque \delta(t-a) já “vive” no ponto t=a.
  • Agora aplique isso a H(s)=5 e^{-4 s}:
    • Note que 5 e^{-4 s}=5\cdot e^{-4 s}.
    • Como \mathcal{L}\{\delta(t-4)\}=e^{-4 s}, multiplicar por 5 corresponde a escalar a distribuição: \mathcal{L}\{5\delta(t-4)\}=5 e^{-4 s}.
  • Portanto a transformada inversa é simplesmente 5\delta(t-4).

Resposta

\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}=e^{-3 s}
\mathcal{L}\{e^{2 t}\,\delta(t-1)\}=e^{2 - s}
\mathcal{L}^{-1}\{5 e^{-4 s}\}=5\,\delta(t-4)

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