Calcule a transformada de Laplace de
e encontre a transformada de Laplace inversa de
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a transformada de Laplace de
. - Calcular a transformada de Laplace de
. - Encontrar a transformada de Laplace inversa de
.
Informações dadas:
- A função de Dirac
aparece em e . - Há um fator exponencial multiplicando a delta em
. - O sinal no expoente de
é (deslocamento em tempo). - Nenhuma figura ou dado adicional é necessário.
Passo 2
Definição e propriedade básica que vamos usar (explicada passo a passo):
- A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa (na prática, para nós, pense em
como um número real suficientemente grande para garantir convergência quando necessário).
- A distribuição de Dirac
tem a propriedade de “sifting” (selecionar o valor em ):
para qualquer função testável
e ignora o resto.
- Aplicando a propriedade acima com
vamos obter a transformada de Laplace de uma delta deslocada.]
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Use a definição:
- Pela propriedade de sifting (aqui
) o integral avalia o integrando em :
- Portanto,
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Use a definição:
- Combine exponenciais dentro do integrando:
. - Pela propriedade de sifting (aqui
) o integral dá o valor do fator exponencial em :
- Podemos reescrever
, ambas equivalentes. - Portanto,
Passo 5
Transformada inversa e teorema do deslocamento no tempo (explicado):
- Teorema do deslocamento no tempo (forma prática): se
, então
onde
é a função degrau unitário deslocada (valendo
para
e
para
). Intuição: multiplicar por
no domínio de
desloca a função original em
no domínio do tempo.
- Observação importante para deltas: a transformada de Laplace de
é (mostrado no Passo 3). Assim, a transformada inversa de é . Não há necessidade de fator separado nesse caso porque já “vive” no ponto . - Agora aplique isso a
: - Note que
. - Como
, multiplicar por corresponde a escalar a distribuição: .
- Note que
- Portanto a transformada inversa é simplesmente
.