Determine a transformada inversa de G(s)=\frac{1-e^{2 s}}{s^{2}} para s<0.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa (inversa de Laplace) da função
G(s)=\frac{1-e^{2s}}{s^{2}}
no ramo onde s<0.
Informações dadas e o que se pede:
G(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{2s}}{s^{2}}.
A tarefa é encontrar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t), ou seja, a função no tempo cuja transformada de Laplace (unilateral, na forma usual) é G(s). Não vou assumir nada além do enunciado.
Passo 2
Primeiro termo: achar \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}.
Lembra da definição da transformada de Laplace unilateral:
onde u(t) é a função degrau (Heaviside) igual a 1 para t\ge0 e 0 para t<0. Em linguagem mais simples: a inversa é t para t\ge0 e 0 para t<0.
Passo 3
Segundo termo: inverter \dfrac{e^{2s}}{s^{2}}. Usamos o teorema de deslocamento no domínio do tempo (teorema do deslocamento a partir do fator exponencial em s):
Teorema (forma usada): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então, para qualquer a,
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}(s)=e^{-as}F(s).
Aqui temos e^{2s}=\;e^{-(-2)s}. Logo podemos identificar a=-2. Aplicando o teorema com F(s)=1/s^{2} e f(t)=t u(t), obtemos
Explicando com calma: substituir a=-2 na fórmula significa que o efeito de multiplicar por e^{2s} no domínio de s é “avançar” a função no tempo em 2 unidades, produzindo a função (t+2) ligada pelo degrau deslocado u(t+2). Note que agora a função resultante está ativada para t\ge-2.
Passo 4
Combinar os dois termos (linearidade da transformada inversa):