Determine a transformada inversa de
G(s)=\frac{1-e^{2 s}}{s^{2}} para s<0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa (inversa de Laplace) da função
G(s)=\frac{1-e^{2s}}{s^{2}}
no ramo onde s<0.
Informações dadas e o que se pede:
G(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{2s}}{s^{2}}.
A tarefa é encontrar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t), ou seja, a função no tempo cuja transformada de Laplace (unilateral, na forma usual) é G(s). Não vou assumir nada além do enunciado.

Passo 2

Primeiro termo: achar \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}.
Lembra da definição da transformada de Laplace unilateral:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Vamos verificar que \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2} (fórmula padrão). Calculemos a integral por partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-st} t\,dt.
Escolhemos u=t e dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-st} t\,dt = \left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Para \Re(s)>0 o termo no infinito se anula; a segunda integral é \dfrac{1}{s}. Então obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-st} t\,dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}(t)=t\cdot u(t),
onde u(t) é a função degrau (Heaviside) igual a 1 para t\ge0 e 0 para t<0. Em linguagem mais simples: a inversa é t para t\ge0 e 0 para t<0.

Passo 3

Segundo termo: inverter \dfrac{e^{2s}}{s^{2}}. Usamos o teorema de deslocamento no domínio do tempo (teorema do deslocamento a partir do fator exponencial em s):
Teorema (forma usada): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então, para qualquer a,
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}(s)=e^{-as}F(s).
Aqui temos e^{2s}=\;e^{-(-2)s}. Logo podemos identificar a=-2. Aplicando o teorema com F(s)=1/s^{2} e f(t)=t u(t), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{2s}}{s^{2}}\right\}(t)= (t+2)\,u(t+2).
Explicando com calma: substituir a=-2 na fórmula significa que o efeito de multiplicar por e^{2s} no domínio de s é “avançar” a função no tempo em 2 unidades, produzindo a função (t+2) ligada pelo degrau deslocado u(t+2). Note que agora a função resultante está ativada para t\ge-2.

Passo 4

Combinar os dois termos (linearidade da transformada inversa):
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}(t) - \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{2s}}{s^{2}}\right\}(t).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
g(t)=t\,u(t) - (t+2)\,u(t+2).

Passo 5

Agora simplificamos essa expressão escrevendo g(t) de forma peça por peça (três intervalos importantes: t<-2, -2\le t<0 e t\ge0):
  • Para t<-2: temos u(t)=0 e u(t+2)=0, então g(t)=0.
  • Para -2\le t<0: temos u(t)=0 e u(t+2)=1, então g(t)=0-(t+2)=-(t+2).
  • Para t\ge0: temos u(t)=1 e u(t+2)=1, então g(t)=t-(t+2)=-2.
Verificamos continuidade em t=-2 e t=0: em t=-2 o valor é 0, em t=0 o valor é -2, coerente com a expressão peça por peça.

Resposta

g(t)=\begin{cases} 0, & t<-2,\\[4pt] -(t+2), & -2\le t<0,\\[4pt] -2, & t\ge 0. \end{cases}]

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