Determine a transformada inversa de
.
Passo 1
O enunciado fornece a função de variável
e pede a transformada inversa no tempo, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes dadas:
e o fator exponencial
está presente multiplicando uma função racional em
.
O objetivo é determinar explicitamente para todo
.
Informações relevantes dadas:
O objetivo é determinar explicitamente
Passo 2
Conceito-chave: teorema do deslocamento no tempo (time-shifting). Vou enunciar e demonstrar de forma simples e intuitiva.
Teorema: se , então, para
,
Teorema: se
onde
é a função degrau unitário deslocada (Heaviside) que vale
para
e
para
.
Demonstração rápida (útil para entender e aplicar na prova): calcular diretamente a transformada de :
Demonstração rápida (útil para entender e aplicar na prova): calcular diretamente a transformada de
Como
força a integral a começar em
, fazemos a mudança de variável
. Então
Isso prova o teorema. Conclusão prática: um fator
no domínio
indica um deslocamento no tempo de
unidades multiplicando a função original por
.
Passo 3
Identificar a parte não deslocada em
. Aqui podemos escrever
Portanto
. Agora precisamos achar
. Vou mostrar que
. Para isso calculamos a transformada de
:
Fazemos integração por partes duas vezes (mostrando os passos para ficar bem claro): defina
Primeira integração por partes: tome
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale zero (para
), logo
Agora calcule
por partes: tome
,
. Então
,
, e
O termo de fronteira vale
(pois em
anula e em
dá
), assim
Substituindo
em
obtemos
Isolando
,
Portanto
, ou seja
Passo 4
Aplicar o teorema do deslocamento com
. Já que
, pelo teorema do passo 2 temos
Aqui
é o degrau unitário deslocado:
para
e
para
. Intuição: a função
foi “adiada” em
unidades de tempo.
Passo 5
Verificação (checar que a resposta corresponde a
). Calcule a transformada de
:
Façamos a mudança de variável
. Então
que é exatamente
. Portanto a inversa encontrada está correta.