Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com impulso e condições iniciais. Queremos encontrar a solução
para todo
.
Informações fornecidas:
Pergunta: determinar explicitamente
(a solução da EDO com a força
e as condições iniciais dadas).
Passo 2
Vou usar a Transformada de Laplace porque ela transforma derivadas em polinômios em
multiplicando a transformada de
, e trata muito bem a força
. Relembre as fórmulas principais que vou usar (explicando por que elas valem):
- A transformada de Laplace de
é denotada por . - Para derivadas, com condições iniciais em
:
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada; elas convertem derivadas em funções algébricas de
.
- Para a delta de Dirac deslocada:
porque a delta “pega” o valor da exponencial no ponto
.
- Para o teorema do segundo deslocamento (ou teorema de translação no tempo): se
então
onde
é a função degrau unitário deslocada (valendo
para
e
para
). A recíproca nos permite inverter fatores
.
Passo 3
Agora aplico
à equação inteira. Usando as condições iniciais
e
, as transformadas das derivadas ficam simples:
Do lado direito,
Somando os termos do lado esquerdo obtemos:
Passo 4
Isolando
:
Para inverter a transformada, convém completar o quadrado no denominador:
Então podemos escrever
Passo 5
Agora preciso achar a transformada inversa de
. Uso a fórmula padrão:
Comparando, escolher
e
dá
Portanto a função cuja transformada é
é
Passo 6
Voltando a
, aplico o teorema do segundo deslocamento (translação no tempo). A transformada inversa de
é
ou seja, plugando
:
Aqui
é o degrau unitário deslocado:
para
e
para
. Em palavras: antes do impulso em
a solução é nula (porque as condições iniciais eram zero e o sistema não foi forçado), e a partir de
a resposta é uma oscilação amortecida dada por
.
Passo 7
Para ganhar confiança, faço uma verificação rápida de consistência física:
- Para
, (pois ). - Em
temos e , então é contínua em . - A derivada tem salto: calcule
. Para ,
Derivando:
Em
isto vale
. Como
, o salto em
é
, que coincide com a integral do lado direito
. Isso confirma que a solução está correta e fisicamente coerente (o impulso provoca um salto na velocidade/primeira derivada).