Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\delta(t-\pi), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com impulso e condições iniciais. Queremos encontrar a solução y(t) para todo t\ge0.
Informações fornecidas:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=\delta(t-\pi),
y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=0.
Pergunta: determinar explicitamente y(t) (a solução da EDO com a força \delta(t-\pi) e as condições iniciais dadas).

Passo 2

Vou usar a Transformada de Laplace porque ela transforma derivadas em polinômios em s multiplicando a transformada de y, e trata muito bem a força \delta(t-a). Relembre as fórmulas principais que vou usar (explicando por que elas valem):
  • A transformada de Laplace de y(t) é denotada por \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
  • Para derivadas, com condições iniciais em t=0:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada; elas convertem derivadas em funções algébricas de s.
  • Para a delta de Dirac deslocada:
\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s},
porque a delta “pega” o valor da exponencial no ponto t=a.
  • Para o teorema do segundo deslocamento (ou teorema de translação no tempo): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (valendo 0 para t<a e 1 para t\ge a). A recíproca nos permite inverter fatores e^{-a s}.

Passo 3

Agora aplico \mathcal{L}\{\cdot\} à equação inteira. Usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, as transformadas das derivadas ficam simples:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{2y'\}=2sY(s),
\mathcal{L}\{2y\}=2Y(s).
Do lado direito,
\mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}=e^{-\pi s}.
Somando os termos do lado esquerdo obtemos:
\bigl(s^2+2s+2\bigr)Y(s)=e^{-\pi s}.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2+2s+2}.
Para inverter a transformada, convém completar o quadrado no denominador:
s^2+2s+2=(s+1)^2+1.
Então podemos escrever
Y(s)=e^{-\pi s}\cdot\frac{1}{(s+1)^2+1}.

Passo 5

Agora preciso achar a transformada inversa de F(s)=\dfrac{1}{(s+1)^2+1}. Uso a fórmula padrão:
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.
Comparando, escolher a=-1 e b=1
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\}=\frac{1}{(s+1)^2+1}.
Portanto a função cuja transformada é F(s) é
f(t)=e^{-t}\sin t,\qquad t\ge0.

Passo 6

Voltando a Y(s)=e^{-\pi s}F(s), aplico o teorema do segundo deslocamento (translação no tempo). A transformada inversa de e^{-\pi s}F(s) é
y(t)=u(t-\pi)\,f(t-\pi),
ou seja, plugando f:
y(t)=u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).
Aqui u(t-\pi) é o degrau unitário deslocado: u(t-\pi)=0 para t<\pi e u(t-\pi)=1 para t\ge\pi. Em palavras: antes do impulso em t=\pi a solução é nula (porque as condições iniciais eram zero e o sistema não foi forçado), e a partir de t=\pi a resposta é uma oscilação amortecida dada por e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi).

Passo 7

Para ganhar confiança, faço uma verificação rápida de consistência física:
  • Para 0\le t<\pi, y(t)=0 (pois u(t-\pi)=0).
  • Em t=\pi temos y(\pi^-)=0 e y(\pi^+)=e^{0}\sin 0=0, então y é contínua em t=\pi.
  • A derivada tem salto: calcule y'(\pi^+). Para t>\pi,
y(t)=e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi).
Derivando:
y'(t)=e^{-(t-\pi)}\bigl(\cos(t-\pi)-\sin(t-\pi)\bigr).
Em t=\pi^+ isto vale 1. Como y'(\pi^-)=0, o salto em y' é 1, que coincide com a integral do lado direito \int_{\pi^-}^{\pi^+}\delta(t-\pi)\,dt=1. Isso confirma que a solução está correta e fisicamente coerente (o impulso provoca um salto na velocidade/primeira derivada).

Resposta

y(t)=u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr)

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