Calcule a transformada de Laplace de f(t)
f(t)=t e^{10 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \;f(t)=t e^{10 t}\;.
Informações dadas: a função f está definida para t\ge 0 e é igual a \;t e^{10 t}\;. A tarefa é obter uma expressão em função de s que represente a transformada de Laplace dessa f(t).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida e prática).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática de provas, tratamos s como um número real) e a integral deve convergir para que a transformada exista. Convergência quer dizer que o valor da integral impropria quando t\to\infty seja finito. Na prática, isso impõe uma condição do tipo s> \text{(algo)}, que vamos determinar ao longo da resolução.

Passo 3

Vamos primeiro lembrar/achar a transformada de Laplace de uma função mais simples: \;g(t)=t\;. Isso é útil porque t e^{10t} é apenas t multiplicado por e^{10t}. Calculemos
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,t\,dt.
Para resolver essa integral usamos integração por partes. Relembrando integração por partes: se escolhemos u(t) e dv(t) tal que du e v existam, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolha prática:
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=e^{-s t}dt\quad\Rightarrow\quad v=\int e^{-s t}dt=-\frac{1}{s}e^{-s t},
válido para s\neq 0. Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}dt = \left. -\frac{t}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-s t}dt.
Agora avaliamos os termos: o termo de contorno no infinito é
\lim_{t\to\infty} \frac{t}{s}e^{-s t}.
Para s>0 a exponencial domina e esse limite é 0 (pode justificar com L’Hôpital: \lim_{t\to\infty} t/e^{s t}=0). No extremo inferior,
\left. -\frac{t}{s}e^{-s t}\right|_{t=0}=0.
Então resta a integral simples:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-s t}dt = \frac{1}{s}\left[\left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}\right]=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}},
desde que s>0 para garantir convergência. Concluímos
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad s>0.

Passo 4

Agora a propriedade de deslocamento no domínio s (muito útil em prova). Se F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s), então para qualquer constante a vale
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Prova curta (só para fixar): escrevendo a definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t)\,dt=F(s-a).
Note que a região de convergência desloca: se F(s) existe para s>\sigma, então \mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s) existe para s-a>\sigma, ou seja s>\sigma+a.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso com f(t)=t e a=10: já sabemos que \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para s>0. Portanto
\mathcal{L}\{t e^{10 t}\}(s)=\mathcal{L}\{e^{10 t}\cdot t\}(s)=\frac{1}{(s-10)^{2}}.
A região de convergência obedece s-10>0, ou seja s>10. Se quiser confirmar diretamente, basta observar que
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t e^{10 t}dt = \int_{0}^{\infty} t e^{-(s-10)t}dt,
que é a mesma integral do Passo 3 com s substituído por s-10, levando ao mesmo resultado e à mesma condição s>10.

Passo 6

Dica para prova (curtinha e prática): ao ver t e^{a t} você já pode pensar direto: transforme t (que dá 1/s^{2}) e faça o deslocamento s\mapsto s-a. Não esqueça de verificar a condição s>a para garantir convergência — prova não aceita resposta sem domínio.

Resposta

\mathcal{L}\{t e^{10 t}\}(s)=\dfrac{1}{(s-10)^{2}},\quad s>10

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