Calcule a transformada de Laplace de f(t) f(t)=t e^{10 t}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \;f(t)=t e^{10 t}\;.
Informações dadas: a função f está definida para t\ge 0 e é igual a \;t e^{10 t}\;. A tarefa é obter uma expressão em função de s que represente a transformada de Laplace dessa f(t).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida e prática).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
onde s é uma variável complexa (na prática de provas, tratamos s como um número real) e a integral deve convergir para que a transformada exista. Convergência quer dizer que o valor da integral impropria quando t\to\infty seja finito. Na prática, isso impõe uma condição do tipo s> \text{(algo)}, que vamos determinar ao longo da resolução.
Passo 3
Vamos primeiro lembrar/achar a transformada de Laplace de uma função mais simples: \;g(t)=t\;. Isso é útil porque t e^{10t} é apenas t multiplicado por e^{10t}. Calculemos
Note que a região de convergência desloca: se F(s) existe para s>\sigma, então \mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s) existe para s-a>\sigma, ou seja s>\sigma+a.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso com f(t)=t e a=10: já sabemos que \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para s>0. Portanto
A região de convergência obedece s-10>0, ou seja s>10. Se quiser confirmar diretamente, basta observar que
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t e^{10 t}dt = \int_{0}^{\infty} t e^{-(s-10)t}dt,
que é a mesma integral do Passo 3 com s substituído por s-10, levando ao mesmo resultado e à mesma condição s>10.
Passo 6
Dica para prova (curtinha e prática): ao ver t e^{a t} você já pode pensar direto: transforme t (que dá 1/s^{2}) e faça o deslocamento s\mapsto s-a. Não esqueça de verificar a condição s>a para garantir convergência — prova não aceita resposta sem domínio.