Nos Exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x, t ou \\theta\, conforme o caso.
y=\ln \sqrt{\frac{(x+1)^{5}}{(x+2)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede \frac{dy}{dx} para a função
y = \ln \sqrt{\frac{(x+1)^{5}}{(x+2)^{2}}}.
Aqui usamos propriedades de logaritmo e regras de derivação de funções elementares.

Passo 2

Aplicamos \ln \sqrt{A} = \tfrac12\ln A e depois as regras de logaritmo de potência e quociente:
y = \frac12 \ln\!\Bigl(\frac{(x+1)^{5}}{(x+2)^{2}}\Bigr) = \frac12\bigl(\ln((x+1)^{5}) - \ln((x+2)^{2})\bigr) = \frac12\bigl(5\ln(x+1) - 2\ln(x+2)\bigr).
Isso simplifica para
y = \frac{5}{2}\ln(x+1) - \ln(x+2).

Passo 3

Derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}:
\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{2(x+1)} - \frac{1}{x+2}.

Passo 4

Colocamos em denominador comum 2(x+1)(x+2):
\frac{dy}{dx} = \frac{5(x+2) - 2(x+1)}{2(x+1)(x+2)} = \frac{5x+10 -2x -2}{2(x+1)(x+2)} = \frac{3x+8}{2(x+1)(x+2)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{3x+8}{2(x+1)(x+2)}.

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