Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelas curvas
e
e pelas retas verticais
e
. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação. [Resposta:
.
Passo 1
A gente quer achar o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
,
e pelas retas
e
. O conteúdo aqui é volume por revolução usando o método dos anéis (washers), ou seja,
.
Passo 2
Se fizermos um esboço no plano xy, vemos a parábola
sempre acima da reta
entre
e
. Ao rodar, essa região gera um sólido que lembra um cilindro oco de perfil variável: a “casca” externa vem da parábola e a interna da reta.
Passo 3
Para cada
entre 0 e 1, o raio externo é
e o raio interno é
, pois em todo o intervalo
. Então o volume é dado por
Passo 4
Vamos expandir o integrando:
Subtraindo, dá
Passo 5
Integramos termo a termo de 0 a 1:
$$\int_0^1 x^4 dx = \tfrac15, \quad \int_0^1 \tfrac{15}{4}x^2 dx = \tfrac{5}{4}, \quad \int_0^1 (-x) dx = -\tfrac12, \quad \int_0^1 3,dx = 3.
$$
Esse é o resultado da integral dentro do π.
Esse é o resultado da integral dentro do π.
Resposta
V = \frac{79}{20},\pi