Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y=x^2+2 e y=x2+1 e pelas retas verticais x=0 e x=1. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação. [Resposta: V=7920 pi].

Passo 1

A gente quer achar o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=x^2+2, y=tfrac x2+1 e pelas retas x=0 e x=1. O conteúdo aqui é volume por revolução usando o método dos anéis (washers), ou seja, V=piintegrala^bl[R(x)^2 - r(x)^2r],dx.

Passo 2

Se fizermos um esboço no plano xy, vemos a parábola y=x^2+2 sempre acima da reta y=tfrac x2+1 entre x=0 e x=1. Ao rodar, essa região gera um sólido que lembra um cilindro oco de perfil variável: a “casca” externa vem da parábola e a interna da reta.

Passo 3

Para cada x entre 0 e 1, o raio externo é R(x)=x^2+2 e o raio interno é r(x)=tfrac x2+1, pois em todo o intervalo x^2+2>tfrac x2+1. Então o volume é dado por
V=piintegral0^1l[(x^2+2)^2 - l(tfrac x2+1r)^2r],dx

Passo 4

Vamos expandir o integrando:
(x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4,
l(tfrac x2+1r)^2 = tfracx^24 + x +1
Subtraindo, dá
x^4 + 4x^2 + 4 -l(tfracx^24 + x +1r) = x^4 + tfrac154x^2 - x +3

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a 1:
$$\int_0^1 x^4 dx = \tfrac15, \quad \int_0^1 \tfrac{15}{4}x^2 dx = \tfrac{5}{4}, \quad \int_0^1 (-x) dx = -\tfrac12, \quad \int_0^1 3,dx = 3.
integral0^1 x^4 dx = tfrac15, integral0^1 tfrac154x^2 dx = tfrac54, integral0^1 (-x) dx = -tfrac12, integral0^1 3,dx = 3 á\tfrac15 + \tfrac54 - \tfrac12 + 3 = \tfrac{79}{20}.
$$
Esse é o resultado da integral dentro do π.

Resposta

V = \frac{79}{20},\pi

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