Encontre a transformada de Laplace inversa da função F(s)=ss^4+5 s^2+4.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=ss^4+5s^2+4
O conteúdo principal é usar frações parciais e a propriedade
L^-1l[tfracss^2+a^2r]=cos(at).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^4+5s^2+4=(s^2+1)(s^2+4)
Assumimos a decomposição
s(s^2+1)(s^2+4) =A,ss^2+1+B,ss^2+4
Somando as frações obtemos o numerador
(A+B)s^3+(4A+B)s
que deve ser igual a s. Logo
A+B=0, 4A+B=1
resolvendo dá
A=13, B=-13
Portanto
F(s)=13,ss^2+1-13,ss^2+4

Passo 3

Aplicando a inversa usando L^-1[tfracss^2+a^2]=cos(at), temos
f(t)=13cos(t)-13cos(2t)

Resposta

f(t)=13l(cos t - cos 2tr)

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