Calcule a transformada de Laplace das funções indicadas.
f(t)=5 t^{3}-21 t^{2}+\sqrt{5 t}+100.

Passo 1

O enunciado pede \mathcal{L}\{f(t)\} para
f(t)=5t^{3}-21t^{2}+\sqrt{5t}+100.
Vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas
\mathcal{L}\{t^n\}=n!/s^{n+1} e \mathcal{L}\{t^\alpha\}=\Gamma(\alpha+1)/s^{\alpha+1}.

Passo 2

Para 5t^3 temos
\mathcal{L}\{5t^3\} =5\cdot\frac{3!}{s^4} =\frac{30}{s^4}.

Passo 3

Para -21t^2 temos
\mathcal{L}\{-21t^2\} =-21\cdot\frac{2!}{s^3} =-\frac{42}{s^3}.

Passo 4

Para \sqrt{5t} escrevemos \sqrt{5t}=\sqrt{5}\,t^{1/2} e usamos \Gamma(3/2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, logo
\mathcal{L}\{\sqrt{5t}\} =\sqrt{5}\cdot\frac{\Gamma(\tfrac32)}{s^{3/2}} =\sqrt{5}\,\frac{\sqrt{\pi}/2}{s^{3/2}} =\frac{\sqrt{5\pi}}{2\,s^{3/2}}.

Passo 5

Para a constante 100 temos
\mathcal{L}\{100\} =\frac{100}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{30}{s^4} -\frac{42}{s^3} +\frac{\sqrt{5\pi}}{2\,s^{3/2}} +\frac{100}{s}.

Exercícios relacionados