Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
usando a série binomial para expoente fracionário, e que a gente determine também o raio de convergência dessa série. Vamos usar a fórmula
(1+u)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}\,u^{k},\quad |u|<1,
com \alpha=-\tfrac12.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=(1 - x^{2})^{-\tfrac12},
ou seja, na forma (1+u)^{\alpha} com
\alpha=-\tfrac12 \quad\text{e}\quad u = -\,x^{2}.

Passo 3

Aplicando a série binomial com esses valores, fica
(1 - x^{2})^{-\tfrac12} =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{k}\,(-x^{2})^{k}.

Passo 4

Vamos simplificar o termo geral. Primeiro,
\binom{-\tfrac12}{k} =\frac{\bigl(-\tfrac12\bigr)\bigl(-\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(-\tfrac12-(k-1)\bigr)}{k!},
e há ainda o fator (-1)^{k} de (-x^{2})^{k}. Em conjunto, dá
\binom{-\tfrac12}{k}(-1)^{k} =\frac{(2k)!}{(k!)^{2}\,4^{k}} =\binom{2k}{k}\frac{1}{4^{k}}.

Passo 5

Portanto a série final é
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}\frac{1}{4^{k}}\,x^{2k}.

Passo 6

O raio de convergência vem da condição |u|<1, ou seja
|x^{2}|<1\quad\Longrightarrow\quad|x|<1.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}\frac{x^{2k}}{4^{k}}, \qquad R=1.

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