Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
por série de potências em torno de
, sujeita a
e
.
O conteúdo envolvido é o método de séries de potências para EDOs lineares de segunda ordem e vamos precisar obter uma recorrência entre os coeficientes da série, determinar os coeficientes iniciais e então expor uma fórmula fechada para os termos pares e ímpares.
O conteúdo envolvido é o método de séries de potências para EDOs lineares de segunda ordem e vamos precisar obter uma recorrência entre os coeficientes da série, determinar os coeficientes iniciais e então expor uma fórmula fechada para os termos pares e ímpares.
Passo 2
Assumimos solução da forma
Então
Substituindo em
e reindexando para potências
:
Passo 3
De
obtemos
de
vem
e de
Logo o coeficiente de
satisfaz
ou seja
Passo 4
Das condições iniciais temos
e
.
e
Passo 5
Para os coeficientes de ordem par, escreva
. A recorrência fica
Partindo de
, obtém-se
Passo 6
Para os coeficientes de ordem ímpar, escreva
. A recorrência se torna
Com
segue
Passo 7
Assim a solução em série é a soma das partes par e ímpar:
com
A recorrência
dá raio de convergência infinito, logo a solução é válida para todo
.
Resposta
válida em
.