Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de a=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0, y(0)=4, y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
y'' + x\,y' + 2y = 0
por série de potências em torno de a=0, sujeita a
\;y(0)=4 e y'(0)=-1.
O conteúdo envolvido é o método de séries de potências para EDOs lineares de segunda ordem e vamos precisar obter uma recorrência entre os coeficientes da série, determinar os coeficientes iniciais e então expor uma fórmula fechada para os termos pares e ímpares.

Passo 2

Assumimos solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.
Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_nx^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_nx^{n-2}.
Substituindo em y''+x\,y'+2y=0 e reindexando para potências x^n:

Passo 3

De y'' obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n,
de x\,y' vem
\sum_{n=0}^{\infty}n\,a_n\,x^n,
e de 2y
\sum_{n=0}^{\infty}2\,a_n\,x^n.
Logo o coeficiente de x^n satisfaz
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + \bigl(n+2\bigr)\,a_n = 0,
ou seja
a_{n+2} = -\frac{a_n}{\,n+1\,}\quad(n\ge0).

Passo 4

Das condições iniciais temos
\;y(0)=a_0=4
e
\;y'(0)=a_1=-1.

Passo 5

Para os coeficientes de ordem par, escreva n=2k. A recorrência fica
a_{2k+2} = -\frac{a_{2k}}{2k+1}.
Partindo de a_0=4, obtém-se
a_{2k} = (-1)^k\,\frac{4}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)} =(-1)^k\,\frac{4}{(2k-1)!!}.

Passo 6

Para os coeficientes de ordem ímpar, escreva n=2k+1. A recorrência se torna
a_{2k+3} = -\frac{a_{2k+1}}{2k+2}.
Com a_1=-1 segue
a_{2k+1} = (-1)^{k+1}\,\frac{1}{2^k\,k!} =(-1)^{k+1}\,\frac{1}{(2k)!!}.

Passo 7

Assim a solução em série é a soma das partes par e ímpar:
y(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}\,x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}\,x^{2k+1},
com
a_{2k}=(-1)^k\,\frac{4}{(2k-1)!!}, \qquad a_{2k+1}=(-1)^{k+1}\,\frac{1}{(2k)!!}.
A recorrência a_{n+2}/a_n\sim -1/n dá raio de convergência infinito, logo a solução é válida para todo x\in(-\infty,\infty).

Resposta

y(x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\,\frac{4}{(2k-1)!!}\;x^{2k} \;+\; \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\,\frac{1}{(2k)!!}\;x^{2k+1},
válida em -\infty<x<\infty.

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