Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=t^{3} e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^{3}e^{-3t}. O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de potências de t, segundo a qual
\mathcal{L}\{t^n\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Além disso, vamos usar a técnica de “completar” o expoente para aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt.
Aqui f(t)=t^3e^{-3t}, então substituímos na integral.

Passo 3

Escrevendo o integrando, fica
\mathcal{L}\{t^3e^{-3t}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^3\,e^{-3t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^3\,e^{-(s+3)\,t}\,dt.
Agora aparece um termo t^3 e uma exponencial de decaimento com parâmetro a=s+3.

Passo 4

Aplicamos a fórmula conhecida
\int_{0}^{\infty}t^n e^{-a t}\,dt=\frac{n!}{a^{n+1}},\quad \Re(a)>0.
Tomando n=3 e a=s+3, obtemos
\int_{0}^{\infty}t^3\,e^{-(s+3)t}\,dt =\frac{3!}{(s+3)^{4}} =\frac{6}{(s+3)^{4}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^3e^{-3t}\}(s)=\frac{6}{(s+3)^{4}},\quad \Re(s)>-3.

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