Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=e^{-t} \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{-t}\cos(2t).
O conteúdo envolvido é o uso da definição de transformada de Laplace e, em particular, da propriedade de deslocamento no domínio de s (shift):
seja g(t) com \mathcal L\{g\}(s)=G(s), então
\mathcal L\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s - a).

Passo 2

Recordando a transformada de Laplace básica
\mathcal L\{\cos(2t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt=\frac{s}{s^{2}+4},
ou seja, para g(t)=\cos(2t) vale G(s)=\tfrac{s}{s^{2}+4}.

Passo 3

Agora aplicamos o deslocamento com a=-1, pois f(t)=e^{-t}\cos(2t)=e^{(-1)t}g(t). Pela propriedade de shift
\mathcal L\{e^{-t}\cos(2t)\}(s) =G(s-(-1))=G(s+1).
Substituindo s\mapsto s+1 em G(s)=\tfrac{s}{s^{2}+4}
G(s+1)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.

Resposta

\mathcal L\{e^{-t}\cos(2t)\}(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.

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