Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=2 e^{3 t} \sin 4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=2\,e^{3t}\sin 4t.
Vamos usar a definição de transformada de Laplace, a propriedade de linearidade e a propriedade de translação no domínio de s.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos tirar a constante 2 para fora:
\mathcal{L}\{2\,e^{3t}\sin 4t\} =2\,\mathcal{L}\{e^{3t}\sin 4t\}.

Passo 3

Usamos a propriedade de translação: se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}=G(s-a).
Aqui a=3 e g(t)=\sin 4t. Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin 4t\} =\frac{4}{s^{2}+4^{2}} =\frac{4}{s^{2}+16}.
Logo
\mathcal{L}\{e^{3t}\sin 4t\} =\frac{4}{(s-3)^{2}+16}.

Passo 4

Voltando ao fator 2, obtemos
2\cdot\frac{4}{(s-3)^{2}+16} =\frac{8}{(s-3)^{2}+16}.

Resposta

\mathcal{L}\{2\,e^{3t}\sin 4t\} =\frac{8}{(s-3)^{2}+16}.

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