Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=\frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2}-5}}, em (3,9)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2}-5}}
e pede a reta tangente em (3,9). Para isso precisamos calcular f'(x) (usando regra do produto e cadeia) e depois usar a fórmula da reta tangente
y - y_{0}=f'(x_{0})\,(x-x_{0}).

Passo 2

Escrevemos
f(x)=2x^{2}\,(x^{2}-5)^{-1/2}
e aplicamos a regra do produto e a cadeia:
f'(x)=(2x^{2})'\,(x^{2}-5)^{-1/2} +2x^{2}\,\bigl((x^{2}-5)^{-1/2}\bigr)'.
f'(x)=4x\,(x^{2}-5)^{-1/2} +2x^{2}\,\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^{2}-5)^{-3/2}\cdot2x.

Passo 3

Organizando os termos sobre denominador comum (x^{2}-5)^{3/2}, obtemos
f'(x) =\frac{4x}{\sqrt{x^{2}-5}}-\frac{2x^{3}}{(x^{2}-5)^{3/2}} =\frac{2x\,(x^{2}-10)}{(x^{2}-5)^{3/2}}.

Passo 4

Avaliaremos a derivada em x=3:
f'(3) =\frac{2\cdot3\,(3^{2}-10)}{(3^{2}-5)^{3/2}} =\frac{6\cdot(-1)}{4^{3/2}} =\frac{-6}{8} =-\tfrac34.

Passo 5

A equação da reta tangente em (3,9) é
y-9=-\tfrac34\,(x-3).
Isolando y, fica
y=-\tfrac34 x+\tfrac{45}{4}.

Resposta

y=-\tfrac34 x+\tfrac{45}{4}

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