Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=(2)^{2^{x}}, em (0,2)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função
f(x) = 2^{2^{x}}
no ponto (0,2). Para isso, precisamos lembrar que a equação da reta tangente a f em x_0 é dada por
y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0),
ou seja, precisamos calcular f'(x) e então avaliar em x_0 = 0.

Passo 2

Vamos encontrar f'(x) usando a regra da cadeia e a derivada de uma exponencial. Escrevemos
f(x) = e^{2^{x}\ln 2},
então, se u(x) = 2^{x}\ln 2, temos f(x)=e^{u(x)}. Logo,
f'(x) = e^{u(x)}\cdot u'(x) = 2^{2^{x}}\cdot u'(x).
Agora,
u(x) = 2^{x}\ln 2,
então
u'(x) = \bigl(2^{x}\bigr)'\ln 2 = \bigl(2^{x}\ln 2\bigr)\ln 2 = 2^{x}(\ln 2)^2.
Portanto,
f'(x) = 2^{2^{x}}\cdot 2^{x}(\ln 2)^2 = 2^{2^{x}+x}\,(\ln 2)^2.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=0. Primeiro,
f(0) = 2^{2^{0}} = 2^{1} = 2,
e
f'(0) = 2^{2^{0}+0}\,(\ln 2)^2 = 2^{1}\,(\ln 2)^2 = 2\,(\ln 2)^2.

Passo 4

Usando a forma-ponto da reta tangente com x_0=0, f(0)=2 e f'(0)=2(\ln 2)^2, temos
y - 2 = 2(\ln 2)^2\,(x - 0),
ou seja
y = 2(\ln 2)^2\,x + 2.

Resposta

A reta tangente à curva f(x)=2^{2^{x}} em (0,2) é
y = 2(\ln 2)^2\,x + 2.

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