Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=(t+2)^{2} e^{t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = (t+2)^{2}e^{t}.
O conteúdo principal é a definição de transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e a propriedade de descolamento no eixo s:
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 2

Identificamos a=1 e g(t)=(t+2)^{2}. Logo
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\mathcal{L}\{e^{1\cdot t}\,g(t)\}(s) =G(s-1),
com
G(s)=\mathcal{L}\{(t+2)^{2}\}(s).
Para convergência, precisamos de \Re(s-1)>0, isto é, \Re(s)>1.

Passo 3

Expandimos
g(t)=(t+2)^{2}=t^{2}+4t+4.

Passo 4

Escrevemos
G(s-1) =\int_{0}^{\infty}(t^{2}+4t+4)e^{-(s-1)t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-u t}\,dt +4\int_{0}^{\infty}t\,e^{-u t}\,dt +4\int_{0}^{\infty}e^{-u t}\,dt,
onde definimos u=s-1.

Passo 5

Usamos integrais padrão para \Re(u)>0:
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-u t}\,dt=\frac{2}{u^{3}},\quad \int_{0}^{\infty}t\,e^{-u t}\,dt=\frac{1}{u^{2}},\quad \int_{0}^{\infty}e^{-u t}\,dt=\frac{1}{u}.

Passo 6

Substituindo em G(s-1):
G(s-1) =\frac{2}{u^{3}} +4\cdot\frac{1}{u^{2}} +4\cdot\frac{1}{u} =\frac{2+4u+4u^{2}}{u^{3}}.

Passo 7

Voltando a s, com u=s-1:
\mathcal{L}\{(t+2)^{2}e^{t}\}(s) =G(s-1) =\frac{4(s-1)^{2}+4(s-1)+2}{(s-1)^{3}},
válido para \Re(s)>1.

Resposta

\mathcal{L}\{(t+2)^{2}e^{t}\}(s) =\frac{4(s-1)^{2}+4(s-1)+2}{(s-1)^{3}}, \quad \Re(s)>1.

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