Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)= \begin{cases}0 & t<2 \\\\ 1 & t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\\\ 1, & t\ge2. \end{cases}
O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace e o cálculo de uma integral imprópria.

Passo 2

Usando a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt,
como f(t)=0 para 0\le t<2 e f(t)=1 para t\ge2, a integral vira
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{2}^{\infty}e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para calcular
\int_{2}^{\infty}e^{-st}\,dt
fazemos
\int_{2}^{\infty}e^{-st}\,dt =\lim_{T\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{t=2}^{t=T} =\lim_{T\to\infty}\bigl(0 -(-\tfrac{1}{s}e^{-2s})\bigr) =\frac{e^{-2s}}{s}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-2s}}{s}

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