Duas placas de plástico muito grandes e não condutoras, cada uma com espessura de \ell, carregam densidades de carga uniforme \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} e \sigma_{4} sobre suas superfícies, com \sigma_{1}>0, \sigma_{2}<0, \sigma_{3}>0 e \sigma_{4}<0. O módulo do campo elétrico à direita da placa com densidades \sigma_{3} e \sigma_{4} vale E_{0}. Use a lei de Gauss para determinar o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico nos seguintes pontos:
(a) ponto A, a uma distância d_{1} da face esquerda da placa à esquerda;

Passo 1

Temos duas lâminas não condutoras infinitas, cada uma de espessura \ell. A lâmina da esquerda tem densidades de carga superficiais \sigma_{1}>0 em sua face esquerda e \sigma_{2}<0 em sua face direita. A lâmina da direita tem \sigma_{3}>0 em sua face esquerda e \sigma_{4}<0 em sua face direita. Foi dado que, na região imediatamente à direita da segunda lâmina, o campo elétrico de módulo vale E_{0}.
Conteúdo necessário:
– Campo de uma folha carregada infinita: \displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (em módulo) apontando para longe da folha se \sigma>0 e em direção à folha se \sigma<0.
– Princípio da superposição: somamos vetorialmente as contribuições de cada folha.

Passo 2

Expressão geral para o campo produzido por uma folha de densidade \sigma em um ponto:
– Se o ponto está à direita da folha, E_{\text{folha}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{x}.
– Se o ponto está à esquerda, E_{\text{folha}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{x}.

Passo 3

A região à direita da segunda lâmina está à direita de todas as quatro folhas. Logo, o campo ali é
E_{\rm dir} \;=\;\sum_{i=1}^{4}\frac{\sigma_{i}}{2\varepsilon_{0}}\;\hat x \;=\;\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}+\sigma_{4}}{2\varepsilon_{0}}\;\hat x.
Pelo enunciado, o módulo desse campo vale E_{0} e está apontando para a direita. Portanto
\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}+\sigma_{4}}{2\varepsilon_{0}} \;=\;E_{0}.

Passo 4

O ponto A está à esquerda de todas as folhas (fica a uma distância d_{1} da face esquerda da lâmina da esquerda). Então em A cada folha i contribui com
E_{i}(A)\;=\;-\frac{\sigma_{i}}{2\varepsilon_{0}}\;\hat x,
e o campo total em A é
E(A) =\sum_{i=1}^{4}E_{i}(A) =-\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}+\sigma_{4}}{2\varepsilon_{0}}\;\hat x.
Usando \bigl(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}+\sigma_{4}\bigr)/(2\varepsilon_{0})=E_{0}, obtemos
E(A)=-\,E_{0}\,\hat x.

Resposta

O campo em A tem módulo E_{0} e aponta para a esquerda (sentido -\hat x).

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