Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=\left(1+t e^{-t}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\bigl(1 + t\,e^{-t}\bigr)^{3}.
Vamos usar as propriedades de linearidade e a fórmula conhecida
\mathcal{L}\{t^{n}e^{-a t}\}=\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.

Passo 2

Expandimos o cubo usando o binômio de Newton:
(1 + t\,e^{-t})^{3} =1 + 3\,t\,e^{-t} + 3\,t^{2}e^{-2t} + t^{3}e^{-3t}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{1\} +3\,\mathcal{L}\{t\,e^{-t}\} +3\,\mathcal{L}\{t^{2}e^{-2t}\} +\mathcal{L}\{t^{3}e^{-3t}\}.

Passo 4

Usando as fórmulas padrões:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \quad \mathcal{L}\{t\,e^{-t}\}=\frac{1!}{(s+1)^{2}}=\frac{1}{(s+1)^{2}},
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-2t}\}=\frac{2!}{(s+2)^{3}}=\frac{2}{(s+2)^{3}}, \quad \mathcal{L}\{t^{3}e^{-3t}\}=\frac{3!}{(s+3)^{4}}=\frac{6}{(s+3)^{4}}.
Multiplicando pelos coeficientes:
3\,\mathcal{L}\{t\,e^{-t}\}=\frac{3}{(s+1)^{2}}, \quad 3\,\mathcal{L}\{t^{2}e^{-2t}\}=\frac{6}{(s+2)^{3}}, \quad \mathcal{L}\{t^{3}e^{-3t}\}=\frac{6}{(s+3)^{4}}.

Resposta

\mathcal{L}\{(1+t\,e^{-t})^{3}\} =\frac{1}{s} +\frac{3}{(s+1)^{2}} +\frac{6}{(s+2)^{3}} +\frac{6}{(s+3)^{4}}.

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