Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=e^{-t} \operatorname{sen}^{2} t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{-t}\sin^2 t.
O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace, o teorema do deslocamento na frequência e a identidade trigonométrica para \sin^2 t.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2},
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f(t)=e^{-t}\sin^2 t = \frac{e^{-t}}{2} - \frac{e^{-t}\cos(2t)}{2}.
Assim
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-t}\} - \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}.

Passo 3

Pelo teorema do deslocamento na frequência, temos
\mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s + 1},
e
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 4}.

Passo 4

Substituindo em \mathcal{L}\{f(t)\},
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Passo 5

Para simplificar, colocamos no mesmo denominador:
\frac{1}{2(s + 1)} - \frac{s + 1}{2\bigl((s + 1)^2 + 4\bigr)} = \frac{(s+1)^2 + 4 - (s+1)^2}{2(s+1)\bigl((s+1)^2 + 4\bigr)} = \frac{4}{2(s+1)\bigl((s+1)^2 + 4\bigr)} = \frac{2}{(s+1)\bigl((s+1)^2 + 4\bigr)}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^2 t\} = \frac{2}{(s+1)\bigl((s+1)^2 + 4\bigr)}.

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