Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)=e^{2 t}(3 \sin 4 t-4 \cos 4 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{2t}\bigl(3\sin(4t)-4\cos(4t)\bigr).
O conteúdo envolve linearidade da transformada e o teorema do deslocamento no eixo s, que diz
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 2

Primeiro calculamos a transformada de
g(t)=3\sin(4t)-4\cos(4t)
usando as fórmulas básicas
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}, \quad \mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.
Logo, por linearidade,
G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =3\cdot\frac{4}{s^{2}+16} -4\cdot\frac{s}{s^{2}+16} =\frac{12-4s}{s^{2}+16}.

Passo 3

Agora aplicamos o teorema do deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{2t}g(t)\}(s)=G(s-2).
Substituindo s\mapsto s-2 em G(s), fica
F(s)=\frac{12-4(s-2)}{(s-2)^{2}+16} =\frac{12-4s+8}{(s-2)^{2}+16} =\frac{20-4s}{(s-2)^{2}+16}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{2t}(3\sin(4t)-4\cos(4t))\}(s)=\frac{20-4s}{(s-2)^{2}+16}.

Exercícios relacionados