Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{s}{(s+1)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s}{(s+1)^{5}}.
O conteúdo aqui é usar o deslocamento no eixo s (teorema do “shifting”) e a tabela de transformadas básicas do tipo
\Laplace^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s+a)^{n}}\bigr\} =\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-a t}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u=s+1. Assim
s = u-1,
e
F(s) =\frac{s}{(s+1)^{5}} =\frac{u-1}{u^{5}} =\frac{u}{u^{5}}-\frac{1}{u^{5}} =\frac{1}{u^{4}}-\frac{1}{u^{5}}.
Voltando à variável s, isto é
F(s) =\frac{1}{(s+1)^{4}}-\frac{1}{(s+1)^{5}}.

Passo 3

Usamos a tabela de transformadas inversas:
\Laplace^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{4}}\Bigr\} =\frac{t^3}{3!}e^{-t} =\frac{t^3}{6}e^{-t},
\Laplace^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{5}}\Bigr\} =\frac{t^4}{4!}e^{-t} =\frac{t^4}{24}e^{-t}.

Passo 4

Pela linearidade da transformada inversa,
f(t) =\Laplace^{-1}\{F(s)\} =\frac{t^3}{6}e^{-t} -\frac{t^4}{24}e^{-t} =\Bigl(\frac{t^3}{6}-\frac{t^4}{24}\Bigr)e^{-t},
para t\ge0.

Resposta

f(t)=\Bigl(\frac{t^3}{6}-\frac{t^4}{24}\Bigr)e^{-t},\quad t\ge0.

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