Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{3 s-14}{s^{2}-4 s+8}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{3s-14}{s^{2}-4s+8}.
O conteúdo é transformada de Laplace inversa, usando a forma padrão
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}
e
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
s^{2}-4s+8 = (s^{2}-4s+4)+4 = (s-2)^{2} + 2^{2}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de s-2:
3s-14 = 3\,(s-2) + 6 -14 = 3\,(s-2) - 8.

Passo 4

Assim
F(s) = \frac{3(s-2)-8}{(s-2)^{2} + 2^{2}} = \frac{3(s-2)}{(s-2)^{2}+2^{2}} \;-\;\frac{8}{(s-2)^{2}+2^{2}}.

Passo 5

Usando as formas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-2}{(s-2)^{2}+2^{2}}\Bigr\} = e^{2t}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2}{(s-2)^{2}+2^{2}}\Bigr\} = e^{2t}\sin(2t).
Logo,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = 3\,e^{2t}\cos(2t)\;-\;8\cdot\frac12\,e^{2t}\sin(2t) = e^{2t}\bigl(3\cos(2t)-4\sin(2t)\bigr).

Resposta

f(t)=e^{2t}\bigl(3\cos(2t)-4\sin(2t)\bigr).

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