Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=8s+5+7s^2+3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa! A gente precisa encontrar a função no tempo que corresponde a essa função no domínio de s :
F(s) = 8s + 5 + 7s^2 + 3
Para isso, vamos usar as propriedades das transformadas de Laplace inversas e algumas fórmulas básicas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a transformada em duas frações que são mais fáceis de lidar:
F(s) = 8s + 5 + 7s^2 + 3
Isso vai facilitar aplicar as fórmulas de transformada inversa para cada termo individualmente.

Passo 3

Vamos encontrar a transformada inversa do primeiro termo, 8s + 5 .
A fórmula básica que usamos aqui é:
L^-11s + a = e^-a t
No nosso caso, a = 5 , então temos:
L^-18s + 5 = 8 e^-5 t

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo, 7s^2 + 3 .
Aqui, reconhecemos a forma da transformada inversa que envolve funções seno ou cosseno. A fórmula que usamos é:
L^-1omegas^2 + omega^2 = sin(omega t)
Primeiro, vamos ajustar o denominador para se parecer com s^2 + omega^2 . Observamos que 3 = (raiz3)^2 , então omega = raiz3 .
Então, reescrevemos o termo:
7s^2 + 3 = 7s^2 + (raiz3)^2
Agora, aplicamos a fórmula da transformada inversa:
L^-17s^2 + 3 = 7raiz3 sin(raiz3 t)

Resposta

Juntando as duas transformadas inversas que encontramos, a solução final é:
f(t) = 8 e^-5 t + 7raiz3 sin(raiz3, t)

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