Calcule a transformada de Laplace inversa:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa! A gente precisa encontrar a função no tempo que corresponde a essa função no domínio de
:
Para isso, vamos usar as propriedades das transformadas de Laplace inversas e algumas fórmulas básicas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a transformada em duas frações que são mais fáceis de lidar:
Isso vai facilitar aplicar as fórmulas de transformada inversa para cada termo individualmente.
Passo 3
Vamos encontrar a transformada inversa do primeiro termo,
.
A fórmula básica que usamos aqui é:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo,
.
Aqui, reconhecemos a forma da transformada inversa que envolve funções seno ou cosseno. A fórmula que usamos é:
Primeiro, vamos ajustar o denominador para se parecer com
. Observamos que
, então
.
Então, reescrevemos o termo:
Agora, aplicamos a fórmula da transformada inversa:
Resposta
Juntando as duas transformadas inversas que encontramos, a solução final é: