Suponha que o sinal
é aplicado como excitação de um sistema linear invariante no tempo que tem como resposta ao impulso
. Usando a integral de convolução, mostre que a saída resultante é
onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a saída de um sistema linear invariante no tempo quando a gente aplica o sinal
como entrada. A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) e Convolução. Vamos precisar entender como a convolução funciona para sistemas lineares e usar a resposta ao impulso
do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em sistemas lineares e invariantes no tempo, a saída
é a convolução da entrada
com a resposta ao impulso
. A fórmula da convolução é:
Passo 3
Agora, vamos substituir a entrada
na fórmula da convolução. Ficamos com:
Passo 4
Para simplificar essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
, o que implica que
. Ajustando os limites da integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
A integral que ficou é justamente a definição da Transformada de Fourier da resposta ao impulso
, que a gente chama de
. Ou seja:
Então, substituindo de volta, temos: