Suponha que o sinal x(t)=e^j omega t é aplicado como excitação de um sistema linear invariante no tempo que tem como resposta ao impulso h(t). Usando a integral de convolução, mostre que a saída resultante é y(t)=H(omega) e^j omega t onde: H(omega)=integral-infty^infty h(tau) e^-j omega t d tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a saída de um sistema linear invariante no tempo quando a gente aplica o sinal x(t) = e^j omega t como entrada. A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) e Convolução. Vamos precisar entender como a convolução funciona para sistemas lineares e usar a resposta ao impulso h(t) do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em sistemas lineares e invariantes no tempo, a saída y(t) é a convolução da entrada x(t) com a resposta ao impulso h(t) . A fórmula da convolução é:
y(t) = integral-infty^infty x(tau) h(t - tau) dtau

Passo 3

Agora, vamos substituir a entrada x(t) = e^j omega t na fórmula da convolução. Ficamos com:
y(t) = integral-infty^infty e^j omega tau h(t - tau) dtau

Passo 4

Para simplificar essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir tau' = t - tau , o que implica que dtau' = -dtau . Ajustando os limites da integral, temos:
y(t) = integral-infty^infty e^j omega (t - tau') h(tau') dtau'
Simplificando a expressão dentro da integral:
y(t) = e^j omega t integral-infty^infty h(tau') e^-j omega tau' dtau'

Passo 5

A integral que ficou é justamente a definição da Transformada de Fourier da resposta ao impulso h(t) , que a gente chama de H(omega) . Ou seja:
H(omega) = integral-infty^infty h(tau') e^-j omega tau' dtau'
Então, substituindo de volta, temos:
y(t) = H(omega) e^j omega t

Resposta

y(t) = H(omega) e^j omega t

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