Calcule a transformada de Laplace inversa
F(s)=1(s^2+1) s^2+2s^2+1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=1l(s^2+1r)s^2+2s^2+1
O conteúdo aqui é “Transformada de Laplace inversa” e vamos usar decomposição em frações parciais junto com as pares padrão L^-11/s^2=t e L^-11/(s^2+1)=sin t.

Passo 2

Decompondo a fração
1s^2(s^2+1) = As + Bs^2 + Cs+Ds^2+1
Multiplicando por s^2(s^2+1) vem
1 = A,s,(s^2+1) + B,(s^2+1) + (Cs+D),s^2 = (A+C)s^3 + (B+D)s^2 + A s + B
Igualando aos coeficientes de 0,s^3+0,s^2+0,s+1 obtemos
A+C=0, B+D=0, A=0, B=1

Passo 3

Resolvendo para A,B,C,D:
A=0, B=1, C=-A=0, D=-B=-1
Logo
1s^2(s^2+1) = 1s^2 - 1s^2+1

Passo 4

Voltando a F(s):
F(s) = l(1s^2 - 1s^2+1r) + 2s^2+1 = 1s^2 + -1+2s^2+1 = 1s^2 + 1s^2+1

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1tfrac1s^2 = t, L^-1tfrac1s^2+1 = sin t
Logo a solução no domínio do tempo é
f(t) = t + sin t

Resposta

f(t)=t+sin t

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