[Equações de Bernoulli] Uma equação diferencial ordinária do tipo
y^prime+p(x) y=g(x) y^a, a in R
é chamada equação de Bernoulli. Esta equação é linear se a=0 ou a=1.
(a) Introduza a variável dependente u por u=y^1-a e mostre que a equação acima fica
u^prime+(1-a) p(x) u=(1-a) g(x),
que é linear.
(b) Use a técnica acima para resolver a equação de Bernoulli dada por y^prime-A y=-B y^2, onde A e B são constantes positivas.
(c) Resolva y^prime+y=y^2.
(d) Resolva y^prime+y=xy
(e) Resolva o PVI dado por: y^prime+(1 / x) y=(cos x) y^-2 ; y(1)=1
(f) Resolva o PVI dado por: y^prime+x^2 y=(1 / x^2) y^4 ; y(-1)=-2'}, {

Passo 1

O enunciado trata da equação de Bernoulli
y' + p(x),y = g(x),y^a,
onde aneq0,1. A ideia é fazer a substituição
u = y^1 - a,
mostrar que u satisfaz uma equação linear em u, e depois usar fator integrante para resolver cada caso pedido.

Passo 2

Derivando u=y^1-a em relação a x,
u' = (1-a),y^-a,y'
Da equação de Bernoulli y' = g(x),y^a - p(x),y, temos
u' = (1-a),y^-al(g(x),y^a - p(x),yr) = (1-a),g(x) - (1-a),p(x),y^1-a
Como y^1-a=u, isso se reescreve como
u' + (1-a),p(x),u = (1-a),g(x),
que é uma equação linear em u.

Passo 3

Temos
y' - A,y = -B,y^2,
logo p(x)=-A, g(x)=-B, a=2, e 1-a=-1. A substituição é
u = y^-1,
e a equação em u fica
u' + A,u = B
O fator integrante é mu(x)=e^integral A,dx=e^Ax. Multiplicando por mu:
l(u,e^Axr)' = B,e^Ax Longrightarrow u,e^Ax = BA,e^Ax + C Longrightarrow u = BA + C,e^-Ax
Voltando a y=1/u,
y(x) = 1 BA + C,e^-Ax = AB + A,C,e^-Ax

Passo 4

A equação é
y' + y = y^2,
que é Bernoulli com p(x)=1, g(x)=1, a=2. Assim 1-a=-1 e u=y^-1. A equação em u é
u' - u = -1
O fator integrante é mu(x)=e^-integral1,dx=e^-x. Logo
l(u,e^-xr)' = -e^-x Longrightarrow u,e^-x = e^-x + C Longrightarrow u = 1 + C,e^x
Assim
y(x) = 11 + C,e^x

Passo 5

Aqui
y' + y = xy,
ou seja p(x)=1, g(x)=x, a=-1. Logo 1-a=2 e
u = y^2,
de onde u' + 2,u = 2x. O fator integrante é mu(x)=e^integral2,dx=e^2x. Multiplicando:
l(u,e^2xr)' = 2x,e^2x Longrightarrow u,e^2x = integral 2x,e^2x,dx + C
Fazendo integração por partes,
integral 2x,e^2xdx = e^2x(x - tfrac12)+C. Então
u,e^2x = e^2xl(x - tfrac12r) + C Longrightarrow u = x - tfrac12 + C,e^-2x
Portanto
y(x) = pmraizx - tfrac12 + C,e^-2x

Passo 6

Temos o PVI
y' + 1x,y = (cos x),y^-2, y(1)=1
Aqui p(x)=1/x, g(x)=cos x, a=-2, logo 1-a=3 e u=y^3. A equação em u é
u' + 3x,u = 3cos x
O fator integrante é mu(x)=e^integral3/x,dx=x^3. Assim
l(u,x^3r)' = 3,x^3cos x Longrightarrow u,x^3 = integral 3x^3cos x,dx + C
Fazendo a integral por partes três vezes chega-se a
integral 3x^3cos x,dx =3x^3sin x +9x^2cos x -18xsin x -18cos x + C1
Então
u(x) = 3x^3sin x +9x^2cos x -18xsin x -18cos x + Cx^3
Impondo y(1)=1Rightarrow u(1)=1 determina C=1+15sin1+9cos1. Por fim
y(x) = l[u(x)r]^1/3

Passo 7

Temos
y' + x^2,y = 1x^2,y^4, y(-1)=-2
Aqui p(x)=x^2, g(x)=1/x^2, a=4, então 1-a=-3 e u=y^-3. A equação em u é
u' - 3x^2,u = -3x^2
O fator integrante é
mu(x)=e^integral -3x^2,dx=e^-x^3. Multiplicando:
l(u,e^-x^3r)' = -3x^2,e^-x^3
Integramos em x de -1 até x para usar a condição inicial:
u(x),e^-x^3 - u(-1),e^-(-1)^3 = -3integral-1^,xe^-t^3t^2,dt
Como u(-1)=(-2)^-3=-tfrac18 e e^-(-1)^3=e^1=e, fica
u(x),e^-x^3 + e8 = -3integral-1^,xe^-t^3t^2,dt,
logo
u(x) = e^x^3l[ -3!integral-1^,xe^-t^3t^2,dt ;-;e8 r]
Finalmente
y(x) = l[u(x)r]^-1/3

Resposta

(a) Demonstração de que, com u=y^1-a, a Bernoulli vira
u'+(1-a)p(x)u=(1-a)g(x).
(b) y(x)=dfracAB + A,C,e^-Ax.
(c) y(x)=dfrac11 + C,e^x.
(d) y(x)=pmraizx - tfrac12 + C,e^-2x.
(e) y(x)=l[u(x)r]^1/3, com
u(x)=3x^3sin x +9x^2cos x -18xsin x -18cos x +,1+15sin1+9cos1x^3
(f) y(x)=l[u(x)r]^-1/3, onde
u(x)=e^x^3l[-3!integral-1^,x!t^-2e^-t^3dt;-;tfrace8r]

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