[Equações de Bernoulli] Uma equação diferencial ordinária do tipo
é chamada equação de Bernoulli. Esta equação é linear se
ou
.
(a) Introduza a variável dependente
por
e mostre que a equação acima fica
que é linear.
(b) Use a técnica acima para resolver a equação de Bernoulli dada por
, onde
e
são constantes positivas.
(c) Resolva
.
(d) Resolva
(e) Resolva o PVI dado por:
(f) Resolva o PVI dado por:
'}, {
(a) Introduza a variável dependente
(b) Use a técnica acima para resolver a equação de Bernoulli dada por
(c) Resolva
(d) Resolva
(e) Resolva o PVI dado por:
(f) Resolva o PVI dado por:
Passo 1
O enunciado trata da equação de Bernoulli
onde
. A ideia é fazer a substituição
mostrar que
satisfaz uma equação linear em
, e depois usar fator integrante para resolver cada caso pedido.
Passo 2
Derivando
em relação a
,
Da equação de Bernoulli
, temos
Como
, isso se reescreve como
que é uma equação linear em
.
Passo 3
Temos
logo
,
,
, e
. A substituição é
e a equação em
fica
O fator integrante é
. Multiplicando por
:
Voltando a
,
Passo 4
A equação é
que é Bernoulli com
,
,
. Assim
e
. A equação em
é
O fator integrante é
. Logo
Assim
Passo 5
Aqui
ou seja
,
,
. Logo
e
de onde
. O fator integrante é
. Multiplicando:
Fazendo integração por partes,
. Então
Portanto
Passo 6
Temos o PVI
Aqui
,
,
, logo
e
. A equação em
é
O fator integrante é
. Assim
Fazendo a integral por partes três vezes chega-se a
Então
Impondo
determina
. Por fim
Passo 7
Temos
Aqui
,
,
, então
e
. A equação em
é
O fator integrante é
. Multiplicando:
Integramos em
de
até
para usar a condição inicial:
Como
e
, fica
logo
Finalmente
Resposta
(a) Demonstração de que, com
, a Bernoulli vira
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) , com
(f) , onde
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)