Encontre a transformada de Laplace
f(t)=integral0^t e^tau(t-tau) d tau

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=integral0^te^tau,(t-tau),dtau
O conteúdo envolvido é a propriedade de convolução da transformada de Laplace, pois esta integral é exatamente a convolução de e^t com t.

Passo 2

Reconhecemos a forma de convolução:
f(t)=(e^t * t)(t) =integral0^te^tau,l(t-taur),dtau
Pela propriedade de convolução, tem-se
Lf(s) =Le^t(s);cdot;Lt(s)

Passo 3

Calculamos separadamente as transformadas:
Le^t(s) =integral0^inftye^-ste^t,dt =integral0^inftye^-(s-1)t,dt =1s-1, Re(s)>1,
Lt(s) =integral0^inftye^-st,t,dt =1s^2, Re(s)>0

Passo 4

Multiplicando as duas expressões, obtemos
Lf(s) =1s-1;cdot;1s^2 =1s^2,(s-1)
Opcionalmente, podemos decompor em frações parciais:
1s^2(s-1) =As+Bs^2+Cs-1
leva a A=-1, B=-1, C=1, isto é,
1s^2(s-1) =1s-1-1s-1s^2

Resposta

Lf(s) =1s^2,(s-1), Re(s)>1

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