Em um cesto haviam ovos. Eram mais de 50 e menos de 60 . Contanto de 3 em 3, sobravam 2. Contando de 5 em 5, sobravam 4 ovos. Quantos ovos haviam no cesto?

Passo 1

O enunciado pede um número de ovos x tal que 50 < x < 60, com as condições:
x equiv 2 pmod3,
x equiv 4 pmod5
O conteúdo aqui é resolução de um sistema de congruências (Teorema Chinês do Resto).

Passo 2

Escrevemos a primeira congruência como
x = 3k + 2
para algum inteiro k. Substituímos na segunda:
3k + 2 equiv 4 pmod5 Longrightarrow 3k equiv 2 pmod5
Como o inverso de 3 módulo 5 é 2, multiplicamos ambos os lados por 2:
k equiv 2cdot2 = 4 pmod5

Passo 3

Daí k = 5m + 4 para algum inteiro m. Substituindo de volta:
x = 3(5m+4) + 2 = 15m + 12 + 2 = 15m + 14
Portanto
x equiv 14 pmod15

Passo 4

Procuramos x=15m+14 no intervalo 50 < x < 60. Testando m=3
x = 15cdot3 +14 = 59,
que está entre 50 e 60 e satisfaz as duas congruências.

Resposta

59

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