Calcule a transformada de Laplace inversa
F(s)=s+3s^2+3 s+2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=s+3s^2+3s+2
O conteúdo principal aqui é decompor em frações parciais para depois usar a tabela básica
L^-11/(s+a)=e^-a t.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador quadrático:
s^2+3s+2 = (s+1)(s+2)

Passo 3

Em seguida, fazemos o ansatz de frações parciais:
s+3(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2), obtemos
s+3 = A(s+2) + B(s+1)

Passo 4

Para determinar
Isso gera o sistema
Resolvendo obtemos .

Passo 5

Substituindo de volta, temos
F(s) = 2s+1 - 1s+2

Passo 6

Agora aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo:
L^-1!ltfrac2s+1r = 2e^-t, L^-1!ltfrac1s+2r = e^-2t
Logo,
f(t) = 2e^-t - e^-2t, t>=0

Resposta

f(t) = 2e^-t - e^-2t

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