(a) Calcule a Transformada de Laplace Inversa de
F(s)=1s^2-2 s+2
(b) Calcule a Transformada de Laplace Inversa de
F(s)=1(s+1)(s^2-2 s+2)
(c) Use os dois itens anteriores para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^-t ; Y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) inverter a transformada de Laplace
F(s)=1s^2-2s+2,
(b) inverter
F(s)=1(s+1)l(s^2-2s+2r),
e (c) resolver por transformada de Laplace o valor inicial
y''-2y'+2y = e^-t, y(0)=0,;y'(0)=1
Para isso vamos usar:
  1. Completar o quadrado em s^2-2s+2 = (s-1)^2+1.
  2. As fórmulas padrão
Le^atcos(bt) = s-a(s-a)^2+b^2, Le^atsin(bt) = b(s-a)^2+b^2

Passo 2

Invertemos
1s^2-2s+2 = 1(s-1)^2+1
Pela tabela, como
Le^tsin t = 1(s-1)^2+1,
temos
L^-1l1s^2-2s+2r = e^tsin t

Passo 3

Para
1(s+1)l(s^2-2s+2r) = 1(s+1)l((s-1)^2+1r),
fazemos frações parciais:
1(s+1)l((s-1)^2+1r) = As+1 + Bs + C(s-1)^2+1
Multiplicando em cima e igualando coeficientes em
1 = Al((s-1)^2+1r) + (Bs+C)(s+1)
vem o sistema
A+B = 0, -2A+B+C=0, 2A+C=1,
cuja solução é A=tfrac15, B=-tfrac15, C=tfrac35. Assim
1(s+1)l((s-1)^2+1r) = 1/5s+1 - 1/5,s - 3/5(s-1)^2+1
Escrevendo -tfrac15s+tfrac35 = -tfrac15(s-1)+tfrac25 e invertendo:
L^-1l1(s+1)(s^2-2s+2)r = 15e^-t - 15e^tcos t + 25e^tsin t

Passo 4

Aplicamos Laplace em
y''-2y'+2y = e^-t, y(0)=0,;y'(0)=1
Temos
s^2Y(s) - 0 - 1 -2l(sY(s)-0r) +2Y(s) = 1s+1
Ou seja
Y(s)l(s^2-2s+2r) -1 = 1s+1,
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Y(s) = 1s^2-2s+2 + 1(s+1)(s^2-2s+2)
Pela linearidade, y(t) é soma das inversas dos dois termos. Usando os itens (a) e (b) obtemos
y(t) = e^tsin t + l(tfrac15e^-t - tfrac15e^tcos t + tfrac25e^tsin tr) = tfrac15e^-t - tfrac15e^tcos t + tfrac75e^tsin t

Resposta

(a) e^tsin t
(b) 15e^-t-15e^tcos t+25e^tsin t
(c) y(t)=15e^-t-15e^tcos t+75e^tsin t

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