Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) ln (3 x^2 yx^2+y^2+2)

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) lnl(3x^2yx^2+y^2+2r)
O conteúdo é cálculo de limite em duas variáveis, usando desigualdades (ou coordenadas polares) para mostrar que a parte interna tende a um valor, e em seguida aplicar continuidade da função logaritmo.

Passo 2

Defina
g(x,y)=3x^2yx^2+y^2
Para todo (x,y)neq(0,0),
l|g(x,y)r| =3,x^2,lvert yrvertx^2+y^2 <= 3,lvert yrvert
pois x^2/(x^2+y^2)<=1. Quando (x,y)to(0,0) temos lvert yrvertto0, logo
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0

Passo 3

Considere
f(u)=ln(u+2)
Como f é contínua no ponto u=0 (porque 2+0>0), vale
lim(x,y)to(0,0)fl(g(x,y)r) =fl(lim(x,y)to(0,0)g(x,y)r) =ln(0+2) =ln2

Resposta

ln2

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