Resolva o PVI:
x^prime prime-10 x^prime+25 x=t^10 e^5 t, x(0)=1, x^prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x'' - 10x' + 25x = t^10e^5t, x(0)=1,;x'(0)=5
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a substituição
x(t)=e^5ty(t)
para reduzir a equação a uma forma mais simples em y.

Passo 2

Com x=e^5ty temos
x' = e^5t(y'+5y),
x'' = e^5t(y''+10y'+25y)
Substituindo na EDO,
x''-10x'+25x = e^5tl(y''+10y'+25y -10(y'+5y)+25yr) = e^5t,y'',
de modo que a equação original vira
e^5t,y'' = t^10e^5t Longrightarrow y'' = t^10

Passo 3

Integramos y''=t^10 duas vezes:
y' = integral t^10,dt = t^1111 + A,
y = integrall(t^1111+Ar)dt = t^12132 + A,t + B,
onde A e B são constantes de integração.

Passo 4

Voltando a x(t)=e^5ty(t) e impondo as condições iniciais:
  1. De x(0)=1:
    x(0)=e^0l(tfrac0132+Acdot0+Br)=B=1
  2. De x'(0)=5 e usando x'=e^5t(y'+5y):
    x'(0)=e^0l(y'(0)+5y(0)r)=l(A+5Br)=A+5=5 ;Longrightarrow;A=0

Passo 5

Substituindo A=0 e B=1 em x(t)=e^5tl(tfract^12132+At+Br), achamos
x(t) = e^5tl(1 + t^12132r)

Resposta

x(t) = e^5tl(1 + t^12132r)

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