Considere a equação diferencial:
x^prime prime-2 x^prime+2 x=f(t)
(a) Encontre a solução geral quando f(t) equiv 0.
(b) Resolva com f(t)=t e condições iniciais x(0)=1, x^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x'' - 2x' + 2x = f(t)
Em (a) temos f(t)equiv0, ou seja, buscamos a solução homogênea de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Em (b) tomamos f(t)=t e as condições iniciais x(0)=1, x'(0)=1; para isso usaremos o método dos coeficientes a determinar para a parte particular e depois aplicaremos as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea definimos a equação característica
r^2 - 2r + 2 = 0,
cuja raiz é
r = 2 pm raiz(-2)^2 -4cdot1cdot22 = 2 pm raiz4-82 = 1 pm i
Logo a solução geral homogênea é
xh(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Para f(t)=t usamos ansatz polinomial de grau 1:
xp(t) = a,t + b
Calculamos
xp' = a, xp'' = 0,
e substituímos em
x'' - 2x' + 2x = t:
0 - 2a + 2,(a t + b) = t ;Longrightarrow; (2a),t + (-2a+2b) = t
Comparando coeficientes de t e de termo constante:
2a = 1 Longrightarrow a = tfrac12, -2a + 2b = 0 Longrightarrow b = tfrac12
Logo
xp(t) = 12,t + 12

Passo 4

A solução geral da EDO não homogênea é
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr) + t+12

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para determinar C1,C2. Em t=0:
x(0) = C1 + 12 = 1 Longrightarrow C1 = 12
Agora precisamos de x'(t). Derivando,
x'(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr) + e^tl(-C1sin t + C2cos tr) + 12
Em t=0:
x'(0) = (C1 + C2) + 12 = 1 Longrightarrow 12 + C2 + 12 = 1 Longrightarrow C2 = 0

Resposta

(a) A solução geral homogênea é
xh(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr)
(b) Com f(t)=t e x(0)=1, x'(0)=1, a solução é
x(t) = 12,e^tcos t + t+12

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