Considere a equação diferencial:
(a) Encontre a solução geral quando
.
(b) Resolva com
e condições iniciais
.
(b) Resolva com
Passo 1
O enunciado dá a EDO
Em (a) temos
, ou seja, buscamos a solução homogênea de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Em (b) tomamos
e as condições iniciais
,
; para isso usaremos o método dos coeficientes a determinar para a parte particular e depois aplicaremos as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea definimos a equação característica
cuja raiz é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para
usamos ansatz polinomial de grau 1:
Calculamos
e substituímos em
Comparando coeficientes de
e de termo constante:
Logo
Passo 4
A solução geral da EDO não homogênea é
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para determinar
. Em
:
Agora precisamos de
. Derivando,
Em
:
Resposta
(a) A solução geral homogênea é
(b) Com
e
,
, a solução é