Observação alternativa (cheque): isto coincide com a integral direta \displaystyle G(s)=\int_{0}^{\pi} e^{-st}\cos t\,dt=\dfrac{s}{s^{2}+1}\big(1+e^{-\pi s}\big).
Pela propriedade do deslocamento, a transformada e^{-\pi s}Y_{1}(s) corresponde no tempo a u(t-\pi)f(t-\pi), onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_{1}(s)\}. Portanto a solução no domínio do tempo é
y(t)=f(t)+u(t-\pi)\,f(t-\pi).
Logo basta calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_{1}(s)\}.
Da primeira equação C=-A\].
- Da quarta equação \(D=-\dfrac{5}{4}B.
- Substituindo em segunda: A+B-\dfrac{5}{4}B=0\Rightarrow A-\dfrac{1}{4}B=0\Rightarrow B=4A.
- Substituindo C=-A e B=4A na terceira:
y(t)=\frac{4}{17}\cos t+\frac{16}{17}\sin t -e^{-t/2}\Big(\frac{4}{17}\cos t+\frac{18}{17}\sin t\Big).
Para t\ge\pi:
y(t)=\frac{4}{17}\cos t+\frac{16}{17}\sin t -e^{-t/2}\Big(\frac{4}{17}\cos t+\frac{18}{17}\sin t\Big) \;+\; \frac{4}{17}\cos(t-\pi)+\frac{16}{17}\sin(t-\pi) -e^{-(t-\pi)/2}\Big(\frac{4}{17}\cos(t-\pi)+\frac{18}{17}\sin(t-\pi)\Big).
Essa é a expressão explícita e correta para y(t). Observação: para t\ge\pi as partes de regime forçado (os termos com \cos e \sin sem fator exponencial) se cancelam parcialmente entre f(t) e f(t-\pi) por causa das identidades trigonométricas \cos(t-\pi)=-\cos t, \sin(t-\pi)=-\sin t; como consequência a solução tende para zero quando t\to\infty, compatível com a ausência de forçamento após t=\pi e com autovalores estáveis do homogêneo.
Resposta
Para 0\le t<\pi:
y(t)=\frac{4}{17}\cos t+\frac{16}{17}\sin t -e^{-t/2}\Big(\frac{4}{17}\cos t+\frac{18}{17}\sin t\Big).
Para t\ge\pi:
y(t)=\frac{4}{17}\cos t+\frac{16}{17}\sin t -e^{-t/2}\Big(\frac{4}{17}\cos t+\frac{18}{17}\sin t\Big) +\frac{4}{17}\cos(t-\pi)+\frac{16}{17}\sin(t-\pi) -e^{-(t-\pi)/2}\Big(\frac{4}{17}\cos(t-\pi)+\frac{18}{17}\sin(t-\pi)\Big).