em que u_a(t) é a função degrau de Heaviside (ou seja, u_a(t)=0 para t<a e u_a(t)=1 para t\ge a).
Pergunta implícita: encontrar a solução x(t) para todo t\ge0 (a resposta naturalmente ficará em forma de função por partes porque g(t) é um pulso entre t=3/2 e t=5/2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A força g(t) é um pulso unitário que liga em t=3/2 e desliga em t=5/2.
As condições iniciais são nulas (posição e velocidade iniciais iguais a zero).
Passo 2
Escolha do método e conceito principal (explicado de forma didática):
Para o sistema linear com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, existe uma forma padrão e muito prática de escrever a solução usando a resposta ao impulso (função de Green) e convolução. A ideia (em palavras simples) é: o movimento resultante é a soma (integral) das contribuições que cada “pedacinho” da força externa [g(s),ds) provoca no sistema, propagadas até o tempo t.
Vamos construir a função de resposta ao impulso (Green) e a fórmula de convolução.
Defina \omega=\sqrt{k} (isso é positivo porque k>0). Considere o problema associado da resposta ao impulso:
onde \delta(t) é a delta de Dirac. A solução causal (zero antes de t=0) para esse problema é conhecida e pode ser obtida resolvendo a homogênea para t>0 e impondo a descontinuidade na derivada causada pela \delta. O resultado é
Explicação curta do porquê: para t>0\] \(G satisfaz G''+\omega^2 G=0, então é combinação de \cos e \sin; a condição de causalidade dá G(0)=0; integrar a equação sobre um intervalo que contém 0 mostra que G'(0^+)-G'(0^-)=1, o que fixa a amplitude e produz G'(0^+)=1, daí G(t)=(1/\omega)\sin(\omega t).
Com essa G, a solução do problema com condições iniciais nulas é a convolução causal
Portanto a integral \int_0^t \sin(\omega(t-s))\,g(s)\,ds\] só recebe contribuição quando \(s está no intervalo [\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}) e também s\le t. Assim, a integral tem limites que dependem de t. Existem três casos de interesse para t:
Caso A: 0\le t<\tfrac{3}{2}. Então não há nenhum s\in[0,t] com g(s)\neq0 → integral é zero.
Caso B: \tfrac{3}{2}\le t<\tfrac{5}{2}. Então g(s)=1 para s\in[\tfrac{3}{2},t]. A integral vai de s=\tfrac{3}{2} até s=t.
Caso C: t\ge\tfrac{5}{2}. Então g(s)=1 para s\in[\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}]. A integral vai de s=\tfrac{3}{2} até s=\tfrac{5}{2}.
Vamos calcular a integral para um intervalo genérico [a,b] com a\le b, depois aplicar aos casos acima.]
Passo 4
Cálculo da integral genérica e derivação da fórmula prática:
Calcule
I=\int_{a}^{b}\sin\bigl(\omega(t-s)\bigr)\,ds,
onde t será fixo e a,b são os limites de integração (com 0\le a\le b\le t nos casos que vamos usar). Faça a substituição r=t-s. Então dr=-ds. Quando s=a temos r=t-a; quando s=b temos r=t-b. Assim
Observação opcional (forma alternativa): a diferença de cossenos pode ser reescrita com identidades trigonométricas (por exemplo em termos de produto de senos), mas a forma acima já é clara e compacta.