Considere o sistema mola-massa descrito pelo problema de valor inicial
x^{\prime \prime}(t)+k x(t)=g(t), \quad k>0,
com condições iniciais
x(0)=0, \quad x^{\prime}(0)=0
em que
g(t)=u_{3 / 2}(t)-u_{5 / 2}(t)
e u_{a}(t) denota a função degrau de Heaviside.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Equação diferencial: x^{\prime\prime}(t)+k\,x(t)=g(t),\quad k>0.
  • Condições iniciais: x(0)=0,\quad x^{\prime}(0)=0.
  • Força externa: g(t)=u_{3/2}(t)-u_{5/2}(t),
em que u_a(t) é a função degrau de Heaviside (ou seja, u_a(t)=0 para t<a e u_a(t)=1 para t\ge a).
Pergunta implícita: encontrar a solução x(t) para todo t\ge0 (a resposta naturalmente ficará em forma de função por partes porque g(t) é um pulso entre t=3/2 e t=5/2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A força g(t) é um pulso unitário que liga em t=3/2 e desliga em t=5/2.
  • As condições iniciais são nulas (posição e velocidade iniciais iguais a zero).

Passo 2

Escolha do método e conceito principal (explicado de forma didática):
Para o sistema linear com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, existe uma forma padrão e muito prática de escrever a solução usando a resposta ao impulso (função de Green) e convolução. A ideia (em palavras simples) é: o movimento resultante é a soma (integral) das contribuições que cada “pedacinho” da força externa [g(s),ds) provoca no sistema, propagadas até o tempo t.
Vamos construir a função de resposta ao impulso (Green) e a fórmula de convolução.
Defina \omega=\sqrt{k} (isso é positivo porque k>0). Considere o problema associado da resposta ao impulso:
G''(t)+\omega^{2}G(t)=\delta(t),\quad G(0^-)=0,\;G(0^+)=0,
onde \delta(t) é a delta de Dirac. A solução causal (zero antes de t=0) para esse problema é conhecida e pode ser obtida resolvendo a homogênea para t>0 e impondo a descontinuidade na derivada causada pela \delta. O resultado é
G(t)=\begin{cases} 0,& t<0,\\[4pt] \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t),& t\ge0. \end{cases}
Explicação curta do porquê: para t>0\] \(G satisfaz G''+\omega^2 G=0, então é combinação de \cos e \sin; a condição de causalidade dá G(0)=0; integrar a equação sobre um intervalo que contém 0 mostra que G'(0^+)-G'(0^-)=1, o que fixa a amplitude e produz G'(0^+)=1, daí G(t)=(1/\omega)\sin(\omega t).
Com essa G, a solução do problema com condições iniciais nulas é a convolução causal
x(t)=\int_{0}^{t}G(t-s)\,g(s)\,ds =\frac{1}{\omega}\int_{0}^{t}\sin\bigl(\omega(t-s)\bigr)\,g(s)\,ds.
Aqui explicito: \omega=\sqrt{k} e todos os símbolos aqui têm o sentido usual — s é a variável de integração (tempo passado), t é o tempo atual.]

Passo 3

Usar a forma de [g(t)) para simplificar a integral (análise por partes):
Como g(t)=u_{3/2}(t)-u_{5/2}(t), temos explicitamente
g(s)=\begin{cases} 0, & 0\le s<\tfrac{3}{2},\\[4pt] 1, & \tfrac{3}{2}\le s<\tfrac{5}{2},\\[4pt] 0, & s\ge \tfrac{5}{2}. \end{cases}
Portanto a integral \int_0^t \sin(\omega(t-s))\,g(s)\,ds\] só recebe contribuição quando \(s está no intervalo [\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}) e também s\le t. Assim, a integral tem limites que dependem de t. Existem três casos de interesse para t:
  • Caso A: 0\le t<\tfrac{3}{2}. Então não há nenhum s\in[0,t] com g(s)\neq0 → integral é zero.
  • Caso B: \tfrac{3}{2}\le t<\tfrac{5}{2}. Então g(s)=1 para s\in[\tfrac{3}{2},t]. A integral vai de s=\tfrac{3}{2} até s=t.
  • Caso C: t\ge\tfrac{5}{2}. Então g(s)=1 para s\in[\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}]. A integral vai de s=\tfrac{3}{2} até s=\tfrac{5}{2}.
Vamos calcular a integral para um intervalo genérico [a,b] com a\le b, depois aplicar aos casos acima.]

Passo 4

Cálculo da integral genérica e derivação da fórmula prática:
Calcule
I=\int_{a}^{b}\sin\bigl(\omega(t-s)\bigr)\,ds,
onde t será fixo e a,b são os limites de integração (com 0\le a\le b\le t nos casos que vamos usar). Faça a substituição r=t-s. Então dr=-ds. Quando s=a temos r=t-a; quando s=b temos r=t-b. Assim
I=\int_{s=a}^{s=b}\sin(\omega(t-s))\,ds =\int_{r=t-a}^{r=t-b}\sin(\omega r)\,(-dr) =\int_{r=t-b}^{r=t-a}\sin(\omega r)\,dr.
A antiderivada de \sin(\omega r) em r é -\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega r). Portanto
I=\left[-\frac{1}{\omega}\cos(\omega r)\right]_{r=t-b}^{r=t-a} =\frac{1}{\omega}\bigl(\cos(\omega(t-b))-\cos(\omega(t-a))\bigr).
Voltando à solução x(t)=\dfrac{1}{\omega}\,I, obtemos a forma geral (para os casos em que a integral não é nula)
x(t)=\frac{1}{\omega}\cdot\frac{1}{\omega}\bigl(\cos(\omega(t-b))-\cos(\omega(t-a))\bigr) =\frac{1}{k}\bigl(\cos(\omega(t-b))-\cos(\omega(t-a))\bigr),
pois \omega^2=k. Esta fórmula vale quando a integração é sobre [a,b] com 0\le a\le b\le t.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos três intervalos de tempo e simplificar:
  • Caso A: 0\le t<\tfrac{3}{2}. Não há contribuição da força, logo
x(t)=0.
  • Caso B: \tfrac{3}{2}\le t<\tfrac{5}{2}. Aqui a integral vai de a=\tfrac{3}{2} até b=t. Substituindo na fórmula com b=t obtemos
x(t)=\frac{1}{k}\bigl(\cos(\omega(t-t))-\cos(\omega(t-\tfrac{3}{2}))\bigr) =\frac{1}{k}\bigl(1-\cos(\omega(t-\tfrac{3}{2}))\bigr).
  • Caso C: t\ge\tfrac{5}{2}. Aqui a integral vai de a=\tfrac{3}{2} até b=\tfrac{5}{2}. Substituindo esses limites:
x(t)=\frac{1}{k}\bigl(\cos(\omega(t-\tfrac{5}{2}))-\cos(\omega(t-\tfrac{3}{2}))\bigr).
Observação opcional (forma alternativa): a diferença de cossenos pode ser reescrita com identidades trigonométricas (por exemplo em termos de produto de senos), mas a forma acima já é clara e compacta.

Resposta

x(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<\tfrac{3}{2},\\[6pt] \dfrac{1}{k}\bigl(1-\cos\!\bigl(\sqrt{k}\,(t-\tfrac{3}{2})\bigr)\bigr), & \tfrac{3}{2}\le t<\tfrac{5}{2},\\[8pt] \dfrac{1}{k}\bigl(\cos\!\bigl(\sqrt{k}\,(t-\tfrac{5}{2})\bigr)-\cos\!\bigl(\sqrt{k}\,(t-\tfrac{3}{2})\bigr)\bigr), & t\ge\tfrac{5}{2}. \end{cases}]

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